Antonio Córdoba: «El aprendizaje de las matemáticas hace ciudadanos más libres»

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Su infancia transcurrió en un huerto del camino de Puente Tocinos (Murcia). Su madre, maestra en una escuela de niñas, le llevaba desde muy pequeño a la escuela y allí descubrió que con las cuentas se hacía valer ante aquellas chicas mayores que manejaban mucho mejor las cosas del idioma y la literatura. Así nació su interés por la geometría y la aritmética. Había que hacerse valer ante aquellas niñas maravillosas. Estudió Matemáticas en la Universidad Complutense y se doctoró en la Universidad de Chicago. Ha sido profesor de la Universidad de Princeton y miembro del Instituto de Estudios Avanzados. Actualmente es catedrático de Análisis Matemático en la Universidad Autónoma de Madrid e investigador en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT). Por sus contribuciones científicas ha recibido varios premios, entre ellos el Premio Nacional de Investigación Julio Rey Pastor en 2011. Se considera fundamentalmente profesor: «como investigador creo nueva música y como profesor la interpreto». Antonio Córdoba es un hombre ilustrado, sabio, sencillo y de mentalidad abierta, pero también es un hombre riguroso con unos principios e ideas firmemente asentados que defiende y argumenta con rigor científico de manera inapelable. Nos citamos con él en la librería Ocho y Medio de Madrid y tras casi dos horas de charla nos queda la sensación de que tras sus palabras hay mucho más de lo que ha contado.

¿Cuál es tu campo de investigación? ¿Cuál es tu día a día?

Me parece que no soy un matemático muy típico, en el sentido de que la mayoría de mis colegas suelen trabajar durante toda su carrera en un área muy determinada, o en áreas, digamos, muy cercanas. Sin embargo, yo  he tenido el prurito, a lo largo de mi vida académica, de cambiar de problemas cada equis tiempo, de aprender nuevas técnicas y teorías. Eso me gusta, me divierte, aunque  tiene  también  sus durezas y sus inconvenientes, especialmente cuando en las valoraciones se tiene muy en cuenta el número total de publicaciones. Me inicié dentro de un área que tiene un nombre especialmente lindo: Análisis armónico. Además, tuve la suerte de hacerlo en la Escuela de Chicago, uno de los centros punteros del análisis matemático occidental, creado por Antoni Zygmund, mi bisabuelo en matemáticas, quien emigró a Estados Unidos al comienzo de la Segunda Guerra Mundial, trayendo consigo la experiencia de la excelente pléyade científica que había surgido en su Polonia natal de principios del siglo XX. Tuve así la oportunidad de conocer a grandes maestros del análisis armónico, como el mismo Antoni Zymund, o Alberto Calderón, Elias Stein y Charles Fefferman. Hice mi tesis sobre un problema fundamental del área que logré resolver en dimensión dos, el caso de dimensiones mayores está todavía abierto, y que atañe a la intrincada geometría y los llamados lemas de recubrimiento, que satisfacen los paralelepípedos de direcciones arbitrarias en el espacio euclídeo, cuyas ilustraciones gráficas recuerdan mucho los cuadros suprematistas de Malevich.  Trabajé y publiqué  en ese tema durante algunos años, y dirigí varias tesis, como las de Alberto Ruiz y Luis Vega, que son ahora autoridades mundiales en el área. Pero me interesé también en otros problemas y empezó a gustarme  mucho la teoría de los números, en la que he hecho también mis pinitos, y he dirigido las tesis de Javier Cilleruelo y Fernando Chamizo, quienes son ahora dos figuras de su especialidad.

La física también me ha interesado siempre: en Chicago seguí un curso de relatividad general impartido por S. Chandrasekhar, quien recibió el Premio Nobel de Física de 1983 por su teoría sobre el colapso gravitacional de las estrellas, y otro de Análisis Funcional y Mecánica Cuántica. El análisis armónico tiene su origen, precisamente, en cuestiones de propagación de ondas, del calor, la luz y el sonido. De manera que la física matemática ha sido otra de las áreas en las que he hecho incursiones: en mecánica cuántica primero y, últimamente, en mecánica de fluidos, en algunos de cuyos problemas estoy ahora mismo trabajando. Conozco, por supuesto, a otros matemáticos que son infinitamente mejores que yo y que han contribuido con resultados importantes en varias áreas distintas, pero no es lo frecuente. Lo normal es que la gente se concentre en una o dos áreas próximas y desarrolle allí su investigación.

En mi rutina diaria suelo dedicar las primeras horas de la mañana a pensar sobre los problemas que tengo como objeto de deseo y que, a estas alturas del partido, son bastante intrincados y apasionantes. Luego hay un tiempo para mis alumnos de doctorado, quienes me cuentan sus progresos y juntos dedicamos unas horas a solventar las dificultades que hayan surgido. Pero están también las clases universitarias: me considero fundamentalmente un profesor, pero un profesor  que enseña porque investiga. En un símil musical, investigar es componer mientras que enseñar es interpretar la música de los grandes maestros, aunque introduciendo, a veces, las variaciones propias. Desde hace algún tiempo, y creo que es algo merecido después del papel que me cumplió desempeñar en los ochenta, huyo de las labores más administrativas y ya no deseo tanto que se me otorguen dineros para grandes proyectos sino disponer de más tiempo para pensar en mis problemas favoritos.

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Se sabe que los científicos, sobre todo los investigadores jóvenes, cuando tienen una línea de investigación se quedan ahí porque al final, si no te mueves eres más productivo. En España hay tanta presión para publicar, que casi el sistema les fuerza a no cambiar de línea. En tu caso, ¿no tuviste esta presión o es que cambiaste de área a pesar de ella?

Hay un poco de todo esto que apuntas. Claramente está que a mí me guste cambiar, en la variedad está el gusto. Pero también cuenta la suerte y la biografía: cuando cursaba cuarto de licenciatura, la Universidad de Chicago me ofreció una beca para hacer allí el doctorado. Mi suerte fue que el gran Alberto Calderón vino a dar un curso de doctorado en la Complutense, y que Miguel de Guzmán me animara a asistir a sus clases. A Alberto le hizo gracia que un chavalín le hiciese preguntas con cierto desparpajo, y me propuso pedir aquella beca que me hizo pasar de un casi desierto cultural matemático, a uno de los mejores centros del mundo. Después, cuando acabé mi tesis, en el 74, para mi sorpresa la Universidad de Princeton me envió una carta ofreciéndome irme con ellos. Y claro, me fui. El ambiente entre los junior faculty era muy competitivo, obviamente, pero el énfasis no estaba puesto en el número de artículos que tienes publicados, sino en los problemas difíciles que has resuelto. Y eso sí me marcó. Había que atacar y resolver problemas duros. Lo que es siempre muy peliagudo: la mayoría de mis compañeros, al cabo de tres años, tuvieron que marcharse, pero yo tuve la suerte de resolver una conjetura importante que estaba abierta en el área, un problema de Zygmund que se había resistido a mis mayores, a los Calderón, Stein, etcétera, y que se publicó en Annals of Mathematics, la revista más emblemática. Eso me valió un contrato de mayor recorrido. Estuve allí varios años, unos ocho o nueve, hasta que decidí volver a la universidad española. Si mi carrera se hubiera desarrollado en España, es probable que mi trayectoria fuera distinta. Aquí el énfasis se pone en el número de publicaciones y no en la dificultad del resultado, muy diferente a lo que yo viví en Princeton.

¿Los índices y citaciones no son muy relevantes?

Sí, son indicadores interesantes, pero sin exagerar su importancia. Por ejemplo, Andrew Wiles, quien dio el último paso, que no era nada trivial, para resolver el último problema de Fermat. Para ello estuvo siete años prácticamente aislado, dedicado casi exclusivamente a esa tarea, sin publicar nada. Y eso pudo hacerlo en un sitio como Princeton, aquí hubiera tenido problemas serios de financiación. No obstante, haber puesto en España un poco de énfasis en que la gente  publique ha sido positivo. Recuerdo muy bien la primera evaluación de los sexenios, de aquello que se llamó entonces gallifantes por un popular programa de televisión. Me tocó estar en la primera comisión, que tuvo que evaluar la producción de muchos años de todo el profesorado universitario. Y quedó claro que la mayor parte de este, durante mucho tiempo, no se había preocupado lo más mínimo de publicar en revistas de circulación internacional. Que ahora sea algo exagerado el número de artículos, y haya casos notorios de personas que consiguen influencia académica a base de darle mucho a la manivela… pues no digo que no. Pero es una mejora, sin duda. En cualquier caso conviene siempre matizar, porque no significa lo mismo una publicación en un área que en otra. Por ejemplo, hace poco escuché a un químico eminente que tenía cerca de mil artículos publicados, los que, divididos por unos treinta años de dedicación, dan una media de más de treinta cada año, es decir, que ese señor ha tenido más de dos ideas interesantes cada mes, lo que, en Matemáticas, produce perplejidad y extrañeza cuando lo normal es dedicar años a perseguir y resolver un problema.

En este sentido, creo que el sistema americano que yo he conocido estaba bien engrasado. La mayoría de los investigadores se inician en la tesis de la mano del director o maestro, quien les enseña los entresijos del oficio y les propone los problemas asequibles e interesantes que pueden atacar. Normalmente se trata de  objetivos que él no sabe hacer y le gustaría alcanzar, pero cuando, como suele ocurrir, ve que el alumno se ha atascado, propone otras metas para las que ya conoce el camino.  Y si haces una tesis del primer tipo, entonces  Princeton (o Harvard, Stanford, Yale, Chicago…) te ofrece un trabajo. Y, si no, pues no pasa nada: puedes empezar en una escuela intermedia, estar allí unos años, hacer un trabajo estupendo y ascender en la escala de universidades, o bien te estancas y consigues un puesto fijo en una escuela menor. Es un sistema que funciona bien.

¿Crees que el sistema de sexenios en España funciona bien? Hay quien se queja de que es un sistema de mínimos y no de máximos.

Por supuesto. Es un sistema de mínimos y ha tenido, quiero creer, un efecto positivo en la evolución de las publicaciones desde los años ochenta para acá. Al menos en matemáticas ha habido un crecimiento fantástico desde entonces, pasando de un ridículo 0,4%, a principios de los ochenta, a un muy digno 4% actual de la producción mundial. Pero es algo que, como dices, es de mínimos. Lo único que se hace es controlar que se haya publicado en una revista decente.

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Si estuviera en tu mano, ¿qué harías para mejorar el sistema? ¿Por dónde empezarías?

Participé en los años ochenta en la puesta en marcha de todo esto. Recuerdo cuando tenía alguna reunión con personas como Juan Rojo, Pedro Pascual o Roberto Fernandez de Caleya, quienes dirigían entonces la política científica. Yo era partidario de ser más exigente con los sexenios y, al mismo tiempo, de que fueran también más significativos, mejor dotados económicamente. No tanto por el legítimo egoísmo de los investigadores, sino por el bien de la universidad. Una manera de romper con los clanes universitarios que siempre «fichaban» a los más próximos es diciéndoles claramente: «Tu sueldo va a depender de que fiches a alguien que sea muy bueno y haga que tu investigación se potencie». Si queremos romper con esas inercias y con la enraizada endogamia, me parece que es una de las iniciativas que podrían ensayarse. Pero entonces la evaluación habría que hacerla de otra forma, con expertos que realmente puedan discernir el grano de la paja en las publicaciones, y no solo tener en cuenta el índice de impacto de las revistas. Sin embargo todos me decían, aunque nunca he entendido bien el porqué, que aquí eso es muy difícil, acaso imposible, de implementar.

Como he contado antes, siendo estudiante de cuarto curso de la licenciatura, la Universidad de Chicago, a través de Alberto Calderón,  me ofreció una beca en unos términos que podría resumir en la frase: «acabe usted sus estudios en Madrid y véngase a Chicago para el doctorado». Luego, cuando volví a España, ayudé a algunos de mis mejores alumnos para que fueran a doctorarse en buenos departamentos de Estados Unidos, donde les admitían el mismo año en el que finalizaban su licenciatura. Pero cuando yo exponía en el ministerio que me hubiera gustado hacer lo recíproco, trayéndome, por ejemplo, a los mejores estudiantes de Princeton o de Chicago, siempre nos tropezábamos con la imposibilidad de hacerlo, porque nuestra meticulosa legislación impide dar una beca tal antes de tener el título correspondiente. Creo que estamos demasiado dominados por una casta de leguleyos que nos paralizan, con normativas generalistas, en aras de un control que luego resulta a menudo bastante ineficaz.

¿Crees que la Administración es demasiado intervencionista en cuanto a normativas, financiación, contratación de profesores, evaluación, política científica de los centros y universidades?

Creo que sí, que además se trata de atornillarlo todo, y eso me parece poco práctico e  inteligente. Por ejemplo, una medida que a mí me pareció en su momento correcta fue propiciar que los doctores por una universidad no pudieran ser contratados allí ipso facto, que tuvieran que irse a otras, enriqueciendo su bagaje investigador. Pero ocurre que luego se hacían diversas trampas creando circuitos de ida y vuelta. No me parece que en EE. UU. esté escrito en piedra que un licenciado no pueda hacer el doctorado en la misma universidad en la que se gradúa, ni que un doctor por una universidad no pueda ser contratado en ella hasta pasados varios años. Sin embargo, esto se lleva a rajatabla. En numerosas ocasiones he formado parte de las correspondientes comisiones, y nunca había solicitudes de los alumnos del propio centro. Era algo obvio, que se daba por sentado.

Otro asunto que me parece poco práctico es que aquí cuando se legisla se hace de una forma muy genérica. Y no son las mismas necesidades las de un laboratorio experimental que las de un departamento de matemáticas, economía o literatura. Por ejemplo, en un proyecto experimental cabe ofrecer una beca para doctorarse aprendiendo a manejar un aparato que exige una gran dedicación, por lo que asignar becas a proyectos específicos puede tener un sentido. Sin embargo, en el caso de las matemáticas se funciona de otra manera. Lo que se estila en los centros de referencia es ofrecer becas a los mejores estudiantes que las solicitan (siempre de otras universidades), para que luego estos, durante el primer año y de acuerdo con sus gustos y lo que tienen que ofrecer los distintos estudiantes y proyectos del programa, encuentren a sus directores de tesis.

¿Qué es para ti más importante a la hora de enseñar matemáticas al público en general?

Depende del contexto, del público… En una memorable ocasión, la Universidad Menéndez Pelayo me pidió dar un curso de esos que ellos llaman «magistral». Y me encontré con una sorpresa, porque entre «los alumnos» había desde colegas, profesores universitarios de Matemáticas, hasta estudiantes de Humanidades, o de Enfermería, y también jubilados de diversas profesiones que encontraron estimulante matricularse en un curso titulado «Matemáticas: orfebrería de ideas y leyes de la Naturaleza». Era un colectivo de unas cincuenta personas. Y en estos casos hay que ser muy cuidadoso para no abusar del lenguaje, y presentar algo que sea asequible y, si no divertido, al menos de un interés fácil de apreciar. Pero a mí no me gusta que se me vaya la mano en esa dirección, transmitiendo la idea, que estimo errónea, de que las matemáticas son un conjunto de acertijos o de juegos más o menos divertidos. Desde Galileo sabemos que las matemáticas son el lenguaje de la ciencia, y un instrumento indispensable de la ciencia y la tecnología, pero también una disciplina con su propia dinámica y problemas. Y esto no es fácil transmitirlo. A veces, en divulgación, es fácil hacer hincapié en la parte lúdica y obviar las demás. Pero eso distorsiona mucho lo que representan las matemáticas en el mundo actual.

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Consideras que por su propia naturaleza los matemáticos son reduccionistas. ¿Crees que un matemático tiene esquemas mentales diferentes a los que tienen otras personas? ¿Sería conveniente que los que no somos matemáticos aprendiéramos a utilizar estos esquemas?

Bueno, es una pregunta muy compleja. Hay una descripción que me gusta y suelo repetir con cierta frecuencia: «La matemática es la orfebrería de las ideas engarzadas en cadenas de razonamientos para llegar a demostrar una verdad». Se trata de manejar el método deductivo, que es algo así como el sistema operativo del cerebro humano, cuya instalación es uno de los mejores servicios que hace la enseñanza de las Matemáticas a la educación de los ciudadanos.  Y esto se puede hacer con las matemáticas porque, curiosamente, sus conceptos son más sencillos y nítidos que los de otras disciplinas, en las que el lenguaje suele ser más barroco y a veces algo confuso. Tratando con círculos, triángulos, esferas, conos o poliedros en el espacio, o con los números enteros y sus operaciones, es posible engarzar razonamientos y llegar a conclusiones nada triviales, entrenando a nuestro cerebro en el manejo de cadenas de implicaciones válidas, que le permitan luego servirnos bien cuando necesitemos de sus servicios. Por ejemplo, ayudándonos a desenmascarar a tantos vendedores de humo que pretenden nuestro apoyo con promesas que no se sostienen, o que, directamente, tratan de estafarnos con diversas versiones del timo piramidal. No creo pues que los esquemas mentales de un matemático sean diferentes de los que tienen otras personas. Simplemente están quizás más entrenados en el uso del método deductivo y en la detección de las falacias del razonamiento. No obstante, conozco bastantes ejemplos de matemáticos que en su oficio dominan exquisitamente el arte de razonar pero que luego, en otros aspectos de la vida, pueden creer en mitos sorprendentes y comulgar con auténticas ruedas de molino. Sin embargo, me gusta ser optimista y considerar que el aprendizaje de las matemáticas hace ciudadanos más libres y mejor preparados para tomar decisiones y evitar que les engañen con razonamientos falaces.

¿Consideras que la forma de enseñar las matemáticas es la correcta?

Es una pregunta complicada que llevaría quizás demasiado tiempo y espacio abordarla con solvencia. Pero teniendo en cuenta la cantidad de personas que se confiesan asustadas, haber suspendido y tenido problemas con las matemáticas de su juventud, hay que decir que tenemos un problema serio. Entre otras razones, porque por la propia naturaleza de su objetivo, que es enseñar el razonamiento deductivo, necesita de un profesorado entusiasta, conocedor de ese arte de engarzar las ideas y no de un mero transmisor de definiciones y rutinas de cálculo. Si establecemos una analogía con la enseñanza musical, se necesitan maestros que sepan tocar algún instrumento, que vibren y gocen con la música y puedan recrearla, y no solo que conozcan algo de su historia o las reglas de su lenguaje escrito. Pero tener ese profesorado, mírese como se mire, no es algo fácil y proponer soluciones está fuera del alcance de una entrevista. No obstante, las matemáticas son una disciplina varias veces milenaria y algunos de sus protocolos de aprendizaje son muy eficientes y están ya muy rodados y entrenados.

¿Tú crees que debería haber más matemáticos, más científicos entre la clase política? ¿Crees que sería bueno?

Creo que sí, que los científicos metidos en política pueden contribuir con su entrenamiento a mejorar el proceso de toma de decisiones y el análisis de los escenarios posibles, analizando con rigor las características de los escenarios posibles entre los que haya que elegir.

¿O solo para asesorar?

No me cabe duda de que la asesoría técnica es fundamental para la buena gobernación. Entre otras cosas porque en ciencia se aprende que cuando uno habla de un tema se ha preparado antes, y nadie da una charla sin haber dedicado antes al asunto el tiempo adecuado para saber de qué se está hablando y tener algo nuevo que proponer. Una de las cosas que se echa en falta a los políticos, sobre todo aquí en España, es que su discurso es con frecuencia vacuo y no están muy preparados: no saben economía, no saben inglés, no saben casi nada. Y, además, muchos no responden a las cuestiones que se les plantean, o lo hacen de una forma descaradamente falaz. En mi modesta opinión, una de las asignaturas pendientes de la ciudadanía es querer y poder exigirles más a las personas que se postulan para administrarnos. Y no simplemente que dominen los trucos de un lenguaje mitinero, sino que tengan algo que decir y proponer. En las ciencias aprendemos que para permitirse una cierta floritura en el lenguaje, antes tiene que haber una sustancia detrás, algo interesante que decir.

¿Cómo puede un país pretender ser desarrollado sin investigación? ¿Podemos competir sin invertir en ciencia básica? ¿Está abocado un país al fracaso si no invierte en ciencia?

Un Gobierno que no invierta en ciencia y que no considera que el futuro del país y su desarrollo están asociados a tener una aportación científica y tecnológica, es un Gobierno que está tomando decisiones equivocadas. A mí el giro que está dando la Unión Europea me desmoraliza mucho; yo era de los españoles que creía que nuestro futuro estaba en ser Europa, y que Gauss fuera un ciudadano de nuestra historia común, como Lagrange y tantos otros. Entendía que era posible y deseable ser  parte del país Europa. Y parece que vamos al revés. La opción de no favorecer el avance científico en España, consolidando lo que se ha hecho desde los ochenta, renunciando a lograr una tecnología punta, no poder incorporarnos al desarrollo de las nuevas ideas, y no poseer industrias competitivas, es un desastre. Seremos el último mono. Todo esto es tremendo.

Hace dos años me invitaron a unos Encuentros Hispano-Británicos. Ahí me enteré de que son unas reuniones que se vienen realizando desde hace tiempo como consecuencia de un viaje que hizo nuestro rey, en el que alguien propuso la idea de esos encuentros para tratar en común temas de interés para ambos países. Tuvimos sesiones durante tres días en el Senado. Algunas fueron divertidas, con muestras del famoso humor inglés y su desparpajo parlamentario, pero también  preocupantes. La mayoría de los reunidos eran políticos, tanto de un país como de otro, incluidos los embajadores y varios ministros de Margaret Thatcher y de los sucesivos Gobiernos españoles. También asistían empresarios que supongo aprovecharán la ocasión para hacer sus negocios. Los científicos, que éramos pocos por ambos lados, me parece que estábamos allí a modo de adorno y éramos una adición reciente a las jornadas. Alguien, quizás, había debido pensar que quedaría bien tener a algunos representantes de la ciencia. A lo que voy es que, sobre todo por la parte británica, había un antieuropeísmo rampante. Una de mis intervenciones fue para señalar que aquí en Europa habían nacido D. Hilbert y Kurt Gödel, que habían puesto en órbita la lógica matemática, y también Alan Turing, quien fue capaz de crear el primer ordenador para descifrar Enigma y ayudar a la derrota del nazismo. Pero toda esta importantísima tecnología se ha desarrollado en Estados Unidos, mientras que en Inglaterra condenaron a Turing por homosexual y aquí todavía seguimos enzarzados con banderas medievales. Pero no tuve ningún eco entre aquellos contertulios. Todo esto a mí me preocupa mucho. La gente de mi generación, por aquello del tardofranquismo, veíamos Europa como una oportunidad.

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En el libro La vida entre teoremas cuentas una anécdota sobre un aficionado a las matemáticas que creía haber resuelto un problema importante…

Sí, es muy divertido, dispongo de una buena colección de anécdotas de aficionados a resolver problemas famosos. En una ocasión, antes de que Wiles hiciera pública su demostración, me llamó por teléfono alguien que decía tener un artículo escrito, con ideas interesantes relacionadas con el último teorema de Fermat. Yo le sugerí que me enviara el manuscrito por correo, pero él quería venir en persona. En general estos aficionados son muy precavidos y cuando  dan un manuscrito lo suelen tener ya registrado ante notario. De manera que el día convenido se presentó en mi despacho, donde lo recibimos los dos directores de la Revista Matemática Iberoamericana. Nos contó que había descubierto las ternas pitagóricas, y pensaba que ahí estaba el germen para atacar el famoso teorema. Le informamos de que aquello ya lo habían descubierto los pitagóricos, hace veintitantos siglos y que era conocido por todos quienes habían intentado el Fermat. Que estaba muy bien que lo hubiera redescubierto por su cuenta, pero que quizá fuera algo pretencioso iniciar el ataque al problema con solo ese bagaje de partida. Le aconsejamos una bibliografía para que completase su formación en teoría de números y  otras materias que le ayudaran en la licenciatura que, según nos dijo, deseaba hacer en la Universidad a Distancia. Al tiempo de marcharse nos informó de que él era un catalanista convencido y que antes de venir a Madrid había consultado con la universidad de su tierra, pero que allí la catedrática especialista en Teoría de los Números le había dicho que intentar demostrar el Fermat era, en términos del baloncesto, como querer jugar en la NBA. Y que eso conlleva una gran preparación y unas condiciones físicas imponentes. Que ella no daba la lata a los demás con sus ideas más peregrinas y, en consecuencia, no tenía tiempo para las ajenas. Entonces nos dio las gracias por el trato amable que le habíamos dispensado, en contraposición con el que creía haber recibido en su país, y añadió que eso, a un independentista como él, le daba que pensar.

¿Qué relación hay, si es que tú la ves, entre matemáticas, música y filosofía?

Con la filosofía, especialmente con la lógica, fueron un tiempo de la mano, no solo en Grecia, también luego hacia finales del XIX y comienzos del XX, con Frege, Cantor, Hilbert, Zermelo, Russell, Wittgenstein y Gödel, entre otros. Este desarrollo de la lógica matemática estuvo originado por la llamada crisis de los fundamentos de las matemáticas, a la que dio lugar el intento de reducir todo a la teoría de conjuntos. Pero hizo que se tuvieran que atar muy bien los cabos, y que se tuviera que precisar qué era una teoría y qué una demostración. El resultado de ese proceso, que culmina con los trabajos de Gödel, es la lógica matemática moderna sin la cual resultaría inconcebible el desarrollo de los lenguajes de ordenador. De manera que se trata de una interacción fantástica que ha cambiado el mundo. Por su parte, la música está en el mito fundacional de la ciencia. La leyenda de Pitágoras paseando junto a una herrería y observando que había unos martillos que sonaban acompasados mientras que otros desafinaban, y tomando la decisión de medirlos y pesarlos para explicar el fenómeno por medio de relaciones numéricas sencillas, es el mito original de la ciencia: entender y explicar el mundo y sus fenómenos a través de los números. La relación entre música y matemáticas da para mucho: las teorías musicales de M. Mersenne; la ecuación de la cuerda vibrante; el descubrimiento de la irracionalidad de la raíz cuadrada del número 2 (diábolus in música) y la escala bien temperada de Bach, etcétera. Recientemente hemos tenido, entre otras, la música aleatoria o estocástica de Xenakis y Cage, o la música fractal, que dan fe de la continuidad de esa interacción fructífera.

En cuanto a la filosofía, a pesar de su formación en el ámbito de la lógica, parece que muchos filósofos tienen problemas al usar razonamientos matemáticos…

Un caso famoso es el de Kant afirmando que el universo tiene que ser euclídeo poco antes de que Gauss, Bolyai y Lobachetsky encontraran sus ejemplos de geometrías en las que no se verifica el axioma de las paralelas. En tiempos recientes tenemos el libro Imposturas intelectuales, de Bricmont y Sokal, en el que se denuncia el mal uso del lenguaje matemático por varios filósofos muy conocidos. Alan Sokal era alumno de doctorado en el Departamento de Física de Princeton cuando yo era allí un joven profesor. Me parece que la motivación para escribir su obra fue una historia que ocurrió aquellos años en el Institute for Advanced Study, cuyo director quiso ampliar las escuelas existentes, Historia, Física y Matemáticas, con otra nueva de Sociología, invitando a un catedrático de una prestigiosa universidad a formar parte del IAS. Pero el matemático André Weil, uno de los grandes del pasado siglo, no estaba muy de acuerdo y comenzó una agria polémica que fue ampliamente reflejada en la prensa. Seguramente podríamos achacar a Weil y los matemáticos que se le unieron un cierto interés corporativo, por cuanto el aumento de escuelas en el IAS haría diluir su influencia. Pero los argumentos esgrimidos fueron poderosos. Los matemáticos se dedicaron a leer las publicaciones del sociólogo. Y, claro, encontraron libros donde estaba repitiendo una y otra vez la misma idea de mil maneras distintas, descubrieron argumentos falaces, y páginas y páginas que podían ser resumidas en una simple frase.

El teorema de incompletitud de Gödel es una joya de la inteligencia humana pero, cuando se saca de su contexto preciso, se presta a tergiversaciones diversas. El mismo Gödel dedicó un tiempo a analizar el argumento ontológico de san Anselmo sobre la existencia de Dios en términos lógicos y de consistencia de un sistema apropiado de axiomas. Pero quien quiera deducir de las siempre interesantes cavilaciones de Gödel la existencia de un ser que premia y castiga, se preocupa de los detalles de la sexualidad humana y todo eso, creo que está errando sus objetivos. Por cierto la obra de Douglas Hofstader, Gödel, Escher, Bach: an eternal golden braid, me parece una magnífica lectura para quien se interese por estos temas.

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Es posible que la mejor forma de disfrutar un cuadro para un matemático sea racionalizarlo, romperlo en polígonos, encontrar sus proporciones. ¿La sensación que tiene un matemático cuando encuentra esa proporción oculta en una obra de arte es similar a la que tiene cuando resuelve un problema?

No sé, habría que preguntarle a otros muchos… A mí me gustan la Venus de Boticcelli, o el Jardín de las delicias de El Bosco, y tantos otros cuadros sin más. Aunque, quizás debido a mis carencias, siempre he sido más atrevido o moderno en pintura que en música. Si me preguntas en música disfruto más con el barroco, Bach, o Hadyn, o luego con los románticos, Beethoven, etcétera, que con la música estocástica. Sin embargo, en pintura siempre he sido capaz de apreciar el arte abstracto, qué sé yo, el suprematismo de Malevich, del que me hace mucha gracia su cuadrado negro sobre fondo blanco, y me gustan sus composiciones de rectángulos en diversas direcciones del plano, o el neoplasticismo de Mondrian, con sus cuadrados diádicos rojos, amarillos y negros. Me resulta natural la idea de que el espacio pueda ser abstracto y que lo importante son ciertas relaciones que se establecen en él. Quizá por mi formación matemática he sido capaz de apreciarlo, de manera que a mí el arte abstracto me llega. En música, sin embargo, soy más conservador, seguramente por mi falta de formación musical. Recuerdo que una amiga música me mostró una composición suya en la que se mezclaban unos sonidos ascendentes, con otros descendentes, pero conservando un volumen sonoro fijo. Era, según me dijo, una ilustración de los modelos de la turbulencia en fluidos incompresibles. Con esa idea en la mente fui capaz de apreciar su música. Me parece que para gozar de algunas composiciones contemporáneas me hace falta siempre conocer la idea, algún significado inteligible de aquellos sonidos que se entremezclan a menudo iterándose en pequeñas variaciones.

Mujeres en matemáticas. ¿Hay carreras de hombres y carreras de mujeres? ¿Por qué al final tienen más éxito los hombres matemáticos que las mujeres matemáticas si se matriculan más hombres pero se licencian más mujeres? ¿Es el famoso techo de cristal?

Con respecto a la primera cuestión, personalmente no creo que haya diferencias entre el cerebro masculino y el femenino respecto a las  matemáticas. No tengo ninguna evidencia de que tal cosa ocurra. Otro asunto es que a lo largo de la historia, como todos sabemos muy bien, hombres y mujeres no hayan gozado de las mismas oportunidades. La mujer no ha tenido el mismo acceso que el hombre a la educación, por lo que el número de mujeres matemáticas ha sido históricamente muy reducido. Ahí tenemos el caso notable de Sophie Germain, quien en su correspondencia con Gauss, Lagrange y Legendre utilizó el seudónimo de Monsieur Le Blanc, porque pensaba que si se presentaba como mujer no iban a hacerle ningún caso.  Se trata de una historia divertida y rocambolesca, con un general de Napoleón por medio, y en la que al final ocurrió que Sophie se equivocaba, porque cuando Gauss descubrió su verdadera identidad no dejó de escribirle elogiosamente. A veces, para ilustrar las conexiones entre los matemáticos, me gusta exhibir algún árbol genealógico académico, mostrando que formamos una gran familia mundial, y que existe una gran unidad. Pero enseguida te das cuenta de que en ellos no aparece ningún español hasta muy tarde… ¿Nos tenemos que preguntar entonces por el cerebro de los españoles? Pues creo que no. Son otras cuestiones.

Ahora hay más mujeres. Creo que es una cuestión de tiempo el que las estadísticas se equilibren. En la Autónoma el número de chicas estudiando matemáticas es muy similar, o quizás mayor, que el de chicos. Es cierto que hasta ahora la mayoría de nuestras alumnas decidían que la enseñanza secundaria, el ser profesoras de bachillerato, era algo muy adecuado a su vida, pero ya está aumentando el número de las que deciden hacer el doctorado. En el año 2000 di un ciclo de conferencias en distintos institutos de la Comunidad de Madrid y me llevé una sorpresa: solo me encontré un profesor de matemáticas de entre todos los institutos que visité. El resto eran todas mujeres, lo que, curiosamente, no se refleja en la imagen pública de los profesores de matemáticas, de los que nuestros cineastas y hombres de letras suelen presentar un retrato muy diferente.

¿Estás de acuerdo con que hay una edad en que se es más creativo en matemáticas y otras ciencias, que se supone que es de los veinticinco a los treinta y cinco años?

Ahí está la famosa frase de Hardy de que a partir de los cincuenta ya no hay nada que hacer y que la originalidad en matemáticas es solo cosa de  jóvenes, alcanzando su máximo en la edad de la arrogancia, en torno a los treinta. Pero yo conozco demasiados contraejemplos de esa teoría para considerarla seriamente.

También antes se pensaba que no se podían generar nuevas neuronas después del nacimiento y ahora se sabe que hay neurogéneis en los adultos…

Claro. Esto quizá enlaza con lo que hablábamos antes de las publicaciones y la presión. La cantidad de energía mental que hay que poner para resolver un problema duro de matemáticas es enorme. Y, claro, el tiempo pasa una factura. Con veinte, treinta años se tienen otras fuerzas con la ambición de conseguir algo en la vida, tener un puesto, eres capaz de concentrar un esfuerzo. Pero también se puede seguir haciendo a otras edades y encontrar otros estímulos. Por citar un ejemplo, mi amigo y director de tesis Charlie Fefferman, que estará dentro de unas semanas por Madrid. Le seguimos llamando Charlie, pero es de mi edad, y aparte de tener una cabeza privilegiada, posee una resistencia física para trabajar en matemáticas que es  muy notable. Hablo de alguien que considera cortar el césped como algo odioso y duro. Y cuando me ve a mí hacerlo considera que soy un superdotado. Pero luego se puede pasar ocho horas seguidas trabajando en un problema, derrotándonos a todos. También está mi abuelo en matemáticas, Elias M. Stein, quien sigue activo, publicando, colaborando y dando conferencias cuando anda ya en torno a los ochenta y cinco años. Quizá los matemáticos tenemos una gran ventaja,  porque este arte de engarzar las ideas y mezclarlas en cadenas de razonamientos no necesita de mucho soporte físico. De manera que podemos estar cortando el césped y pensando en un problema, o esperando en una consulta médica mientras le das vuelta a tus ideas. Así que, si lo deseas, no tienes razones para el aburrimiento.

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Cuando hicimos una entrevista a dos físicos de mi campo nos dijeron que la física era la fuente de la eterna juventud.

Sí claro, pero me temo que  juventud mental. El cuerpo es otra cosa.

La gente tiene una imagen peculiar de los matemáticos. Desde la película Una mente maravillosa hasta la más reciente serie The big bang theory. ¿Qué se ajusta más a la realidad?, ¿qué es para ti un matemático estándar?

Creo que el caso de John Nash, que conozco muy de cerca, es muy peculiar, por la enfermedad que padecía. En general, cuando la prensa da alguna noticia sobre los matemáticos es porque alguien ha  hecho alguna extravagancia. Pero yo diría que la mayoría son gente de vida muy normal. Quizá un poco ácratas, en el sentido de que suelen ser gente que no acepta fácilmente imposiciones… Hay una broma por ahí que dice que si vas a un campus americano es fácil determinar por cómo anda o cómo viste quién es matemático (los más desarrapados…) [Risas].

Conozco gente de todo tipo. Los hay que son muy cultos. Por poner un ejemplo, los hermanos Browder, tengo amistad con ellos. Félix era profesor en Chicago cuando yo llegué, su hermano William estaba en Princeton, y Andrew, en la Universidad de Brown, también es matemático. Son hijos del que fue secretario general del partido comunista americano, Earl Browder y cuyos otros dos vástagos, William y Andrew, son también matemáticos. Félix es una enciclopedia viviente y su casa está atiborrada de libros que ha leído y en gran medida asimilado. Una vez, volviendo de Madrid, le regalé uno sobre nuestra ciudad, con bellas ilustraciones, que le puso contentísimo; pero Eva, su mujer, casi me echa de la casa (¡otro volumen más!). Pero conozco también ejemplos de todo lo contrario, gente que cuando la sacas de sus ecuaciones se vuelve bastante patosa. Es un colectivo amplio en el que hay de todo. Pero en general yo diría que somos gente muy normal.

¿Cuál crees tú que ha sido el último paradigma de la ciencia y cuál crees que puede ser el siguiente? ¿Y cuál podría ser el próximo paradigma social?

Creo que ahora mismo, y no solo porque sea el proyecto que está propiciando la Administración de Obama, entender el cerebro es la nueva frontera de la ciencia. Discernir cómo funciona un cerebro humano es fascinante y  muy complicado. Si empezara ahora mi carrera seguramente me dedicaría a ello. Ahí hay unas posibilidades fantásticas de interacción multidisciplinar. Por otro lado, y en el sentido negativo, creo que el cambio climático y el estar quemando tanto carbón y petróleo y lo que estamos haciendo a la tierra es algo muy peligroso. En este sentido tendríamos que estar más preocupados de lo que estamos, porque se nos está escapando el tiempo de las soluciones. Se trata de un problema muy gordo, un gran reto.

En el siglo pasado quizás el cambio de paradigma más importante fue la irrupción de la mecánica cuántica, que nos cambió la vida y la visión del mundo. También está la relatividad general de Einstein, aunque en un cierto sentido fue más una culminación de la mecánica clásica que un paradigma nuevo, y que ya tuvo sus antecedentes en la visión abstracta del espacio que introdujo el gran Riemann en su afamada tesis. Pero en tiempos más recientes está la irrupción de los computadores e Internet, que también nos ha cambiado el mundo y las comunicaciones, propiciando la aparición de un nuevo centauro, el constituido por un matemático y su ordenador que es, cada vez más, un protagonista principal de la ciencia contemporánea.

Antonio Córdoba para Jot Down 7

Fotografía: Guadalupe de la Vallina

8 comentarios

  • “el descubrimiento de la irracionalidad de la raíz cuadrada del número 2 (diábolus in música)”

    No entiendo a qué se refiere el entrevistado cuando relaciona la irracionalidad de la raíz de dos y el diábolus in música. Si alguien la conoce me gustaría que me la explicase. Gracias anticipadas.

    • Estimado Tsevan: La irracionalidad de la raíz cuadrada de dos, es decir que el cuadrado del cociente de dos enteros nunca puede ser igual a dos, es un descubrimiento de la escuela pitagórica que tiene una interesante historia y consecuencias. En la escala bien temperada se divide el intervalo entre una nota y su octava, que están en la relación de frecuencia 1:2, en doce partes iguales, multiplicativamente hablando, cada una de las cuales es un semitono. De manera que si el semitono corresponde al numero x, las doce frecuencias serían: 1, x, x al cuadrado, x al cubo,… etcétera, hasta x elevado a 12 que debe ser 2. Luego el número x es igual a 2 elevado al exponente 1/12. El tritono, también llamado diábolus in música, se corresponde con x elevado a 6, que es lo mismo que la raíz cuadrada de dos. Pero llegados a este punto, le aconsejo que consulte mejor con un músico profesional para ilustrarse sobre el carácter “diabólico” del tritono.

  • Bravo Maestro!

  • Supongo que todos nos damos cuenta de que el tema que se está tratando no está al alcance de cualquiera, con lo que no estoy diciendo, por supuesto, que no se haya de tocar. Personalmente no he entendido nada, pero hay algo que sí me ha hecho gracia y es el aspecto del señor Antonio Córdoba del que nadie inferiría, dejándonos llevar por los estereotipos, que es quién es. De su físico y aliño indumentario, llanos y nada afectados, se llegaría a la conclusión de vernos en la tesitura de pedirle en el puesto de un mercado cualquiera: “Póngame cuarto kilo de ese jamón, Antonio, pero finito, finito, ¿eh…?”
    No hay en esta elucubración ningún ánimo de menoscabar al entrevistado, al que desde aquí le digo que he leído la entrevista exclusivamente por el interés que esa aparente paradoja me ha suscitado. De lo otro, por desgracia y debido a mis limitaciones -enormes- en el campo de las matemáticas, no puedo opinar ni poco ni mucho, con gran tristeza por mi parte.

  • Felicidades, una entrevista muy honesta. Yo le hubiera preguntado al señor Córdoba sobre el estado de la divulgación de la ciencia en España -que a mi entender es pobre- y, ya que se habla de publicaciones, sobre su postura en relación al “utópico” acceso gratuito a cualquier tipo de publicación científica y sus bancos de datos (no muy relevantes para los campos que giran en torno a la matemática teórica pero fundamentales para campos como la biología evolutiva). Mis felicitaciones también para Guadalupe de la Vallina por la fotos, geniales.

  • ¡¡¡¡¡…pues a ver si nos da unas clasecillas, que falta hace…!!!!

  • no me gusta que se me vaya la mano en esa dirección, transmitiendo la idea, que estimo errónea, de que las matemáticas son un conjunto de acertijos o de juegos más o menos divertidos

    …parece que se ha agotado la oportunidad de un interesante debate entre la colaboradora de Jotdown Clara Grima, matemática que (a mi juicio acertadamente) divulga ciencia haciéndola asequible mediante “acertijos o juegos más o menos divertidos”, y el señor Córdoba, que parece opinar lo contrario… los lectores nos lo perdemos, una pena

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