Jot Down Cultural Magazine – No apuestes contra tahúres cuánticos

No apuestes contra tahúres cuánticos

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Teoría de juegos

Los matemáticos son fabulosos. Sí, lo son. La razón es simple, son capaces de limpiar de polvo y paja cualquier fenómeno y extraer lo esencial para poder modelizarlo en el lenguaje donde se mueven con facilidad, la matemática. Hay cosas muy espectaculares en la matemática pero, al menos personalmente, hay un campo especialmente atractivo, la teoría de juegos.

La teoría de juegos es la parte de la matemática que se dedica a estudiar relaciones de conflicto en las que dos o más individuos tienen que competir para obtener un beneficio. Esta teoría se ha aplicado a situaciones tan diversas como evidentes, la guerra fría, diseño de campañas de marketing, estudio de conflictos empresariales, diseño de campañas de expansión empresarial, modelización de relaciones entre especies en determinados nichos ecológicos, etc. A pesar del nombre no se aplica ni al parchís, ni a la oca, ni al póquer. Los juegos a los que se refiere son tal vez menos divertidos pero más interesantes.

En la teoría de juegos se establecen:

  1. Quiénes son los jugadores.
  2. Qué reglas tiene el juego.
  3. Qué estrategias tienen a su disposición los jugadores, es decir, los posibles movimientos o decisiones que están permitidos en el juego.
  4. Cuáles son las ganancias que obtendrán los jugadores al final del juego.

Evidentemente, el objetivo de cada jugador es maximizar su ganancia, para ello tendrá que elegir la mejor estrategia posible compatible con las reglas del juego. Ahí suele estar el conflicto porque en los juegos que un jugador mejore su ganancia suele implicar que el resto vean disminuidas las suyas respectivas. En teoría de juegos se han estudiado multitud de variantes, juegos en los que todos los jugadores conocen todas las estrategias posibles, juegos en los que no se conocen, juegos en los que se puede cambiar de estrategia en cada paso del juego para adaptarse a las estrategias de los contrincantes, etc. En definitiva, es una rama de la matemática apasionante como no me cansaré de repetir. Algún día le dedicaremos una entrada a la teoría de juegos propiamente dicha, hoy tocaremos otro tema.

Y los físicos lo hicieron cuántico

Una física (nótese aquí el uso del femenino para estar en los medios del ruedo de lo políticamente correcto) ve la teoría de juegos y algo le reconcome por dentro —¿cómo es que los matemáticos tienen este juguete tan chulo y nosotros no le hemos metido mano?—. Claro, ante esta pregunta el siguiente paso es tomar la teoría de juegos y meterle la cuántica por las entrañas. Y como suele pasar, llegó la cuántica y todo se hizo más raro y más sorprendente.

Esto que he contado en el anterior párrafo es lo que de verdad pensaron los que empezaron con el tema de la teoría de juegos cuántica, te lo digo yo. Pero como eso de estar motivados por la envidia no vende, diremos que la motivación para introducir argumentos cuánticos en la teoría de juegos viene de la mano del campo de la computación cuántica. Si alguna vez tenemos entre manos un ordenador cuántico tendremos que proponerle problemas y muchos de dichos problemas vendrán escritos en el formato de la teoría de juegos.

Creo que llegados a este punto lo mejor es parar, respirar hondo, e intentar fijar al menos una de idea de la mecánica cuántica que luego aplicaremos a la teoría de juegos.

Las tripas de la cuántica

Antes de seguir voy a decir las dos palabras mágicas de la cuántica. Sí, yo soy así, cuando hay que ir al grano no me para nadie. Las dos palabras de marras son:

Superposición.

Entrelazamiento.

Cualquier explicación que leas por ahí sobre la cuántica estará relacionada con una de esas dos palabras. Sin duda alguna, y creo que no sorprenderé a nadie, la mecánica cuántica es difícil de entender. Lo es por dos motivos:

1. Porque los fenómenos descritos por la mecánica cuántica están muy lejos de nuestra escala de energías y por lo tanto no tenemos ninguna experiencia cotidiana comparable a los sucesos cuánticos. Así que no podemos poner ejemplos cotidianos ni hacernos imágenes mentales basadas en la experiencia.

2. Porque la formulación matemática es peculiar, ni más fácil ni más difícil que la matemática de la física clásica (no cuántica), simplemente diferente.

Gracias a esto la cuántica ha suscitado mil y una interpretaciones, malentendidos y maledicencias varias. La cuántica se está empleando para justificar tonterías como los fenómenos paranormales, lo que al fin y al cabo es una cuestión banal, pero también para decir gilipolleces peligrosas como la medicina cuántica. Nosotros nos vamos a centrar en cuestiones más alucinantes, en la ciencia de verdad.

Para el tema que nos interesa en esta entrada nos basta con explicar un poco qué es eso de la superposición. Abre tu mente y fluye con la explicación que viene ahora, verás cómo la superposición penetra en tu meninge haciéndose uno contigo —¿a que te has acojonado con esta frase?

La superposición

En nuestra vida diaria casi todo es dicotómico, podemos estar de pie o tumbados, pero no podemos estar de pie y tumbados. Podemos estar en misa o repicando, pero no podemos estar en misa y repicando. Si nos vamos a términos más físicos podemos decir que no podemos estar en dos posiciones al mismo tiempo, que no podemos tener dos energías distintas al mismo tiempo, etc. Si estoy en la posición aquí no puedo estar allí. Si tengo una energía de 3 en las unidades que sean no puedo tener una energía de 7 en dichas unidades. Y así podríamos seguir ejemplificando pero creo que ya se ha captado la idea. Si nos ponemos intensos podríamos decir: «En la física clásica un sistema tiene un estado definido que excluye la posibilidad de estar en cualquier otro estado para las cantidades observables que estemos estudiando».

La cuántica se pasa esto por el forro. En cuántica un sistema puede estar en un estado que es combinación o como dicen los físicos, superposición, de estados que son mutuamente excluyentes. Es decir, una partícula cuántica puede estar en un estado que nos dice que la partícula está aquí y está allí. ¿Eso qué significa? Bueno, eso significa que la cuántica juega con nuestros cerebros y nos dice que cuando intentemos medir la posición de esa partícula podremos obtener dos, y solo dos en este caso, resultados, aquí o allí. Además nos dice con qué probabilidad obtendremos un resultado u otro.

Está claro que este comportamiento no es para nada usual. Bueno, mejor dicho, a nosotros no nos parece nada usual porque nosotros no tenemos ese tipo de experiencias porque parece que a niveles cuánticos es el pan nuestro de cada día. Este hecho ha ocasionado mil y una malinterpretaciones que vienen de la mano de ejemplos muy exagerados. Quizás el más famoso de todos es el del gato de Schrödinger. Este ejemplo nos pone en la situación en la que un gato es metido en una caja y por medio de un dispositivo que depende de la desintegración de un núcleo atómico se libera un veneno que puede matar al minino. La desintegración de un núcleo atómico es un fenómeno cuántico, no podemos decir cuándo se va a llevar a cabo el proceso, solo podemos decir la probabilidad de que ocurra. El caso es que en esa situación mientras no interactuemos con el interior de la caja, abriéndola, moviéndola, etc., el gato está en un estado que combina el estado de gato vivo y el estado de gato muerto.

Insistiré una vez más y las que hagan falta, eso solo es un ejemplo para ilustrar una característica cuántica, la superposición de estados. Nosotros vamos a usar otro ejemplo, vamos a usar una moneda. Un duro.

En nuestro mundo clásico la moneda, un duro de los de antes, puede estar en el estado cara o el estado cruz.

moneda

Desde el punto de vista cuántico uno podría tener la moneda en un estado superpuesto entre cara y cruz. Este estado lo vamos a escribir así:

|Estado de la moneda> = (50%)¹/² |Cara> + (50%)¹/² |Cruz>

Eso significa que el estado de la moneda es una superposición de dos posibilidades que son, en física clásica, mutuamente excluyentes. Y los coeficientes, elevados al cuadrado, nos dan la probabilidad de obtener una opción u otra cuando miremos el estado de la moneda.

El juego

Vamos a utilizar un juego muy simple que involucra una moneda. El juego se puede describir como sigue:

1. Tenemos una moneda con una cara y una cruz diferenciadas.

2. Se admiten dos jugadores, Alicia y Benito, que denotaremos por A y B para no escribir tanto.

3. El primer jugador, digamos A, está obligado a meter la moneda en una caja mostrando la cara hacia arriba. Luego le pasa la caja a B.

4. La caja tiene un botón que intercambia la cara por la cruz. B tiene la opción de pulsar ese botón o no. Luego le devuelve la caja a A.

5. Una vez en poder de A puede decidir si pulsar el botón o no. Le devuelve la caja a B.

6. B decide, una vez más, si pulsar el botón para girar la moneda. Una vez que haya decidido tiene que abrir la caja.

Si la moneda muestra cara gana B y si muestra cruz gana A.

En ningún momento A o B saben qué es lo que ha decidido el otro. Las decisiones que se toman son independientes y desconocidas para el otro jugador. Fíjense que A está obligada a poner la moneda mostrando la cara en el primer paso y que es justo cara lo que hace ganar a B en el último paso.

Este es un juego muy simple y se puede demostrar que no hay estrategia ganadora para ningún jugador. Ambos jugadores tienen una posibilidad del 50% de ganar.

El juego con un tahúr cuántico

Vamos a jugar otra vez con A y B, solo que ahora B tiene en su lado de la caja un botón que le permite poner la moneda en el estado cuántico superpuesto (50%)¹/² |Cara> + (50%)¹/² |Cruz> y por supuesto le permite deshacer dicha superposición. Es decir, B puede acceder a una estrategia cuántica, es por este motivo que a este juego se le puede denominar un juego cuántico. Los juegos son cuánticos cuando alguno de los jugadores o todos pueden usar superposiciones (o entrelazamientos) entre los estados permitidos en el juego, en nuestro caso es poner la moneda en una superposición de cara y cruz.

¿Representa esto alguna ventaja para B? La cosa es que sí, basta pensar un poco:

1. A pone la moneda en la caja mostrando la cara.

2. B recibe la caja y decide poner la moneda en su estado superpuesto:

(50%)¹/² |Cara> + (50%)¹/² |Cruz>

3. A recibe la caja y si decide no hacer nada la moneda queda en su estado superpuesto. Si decide pulsar su botón que intercambia cara por cruz pues obtenemos:

(50%)¹/² |Cara> + (50%)¹/² |Cruz> ———->  (50%)¹/² |Cruz> + (50%)¹/² |Cara>

¡Pero este es el mismo estado! Si B pone la moneda en un estado superpuesto A no tiene opción para cambiarlo.

4. B recibe la caja de nuevo y por supuesto sabe que su estado superpuesto sigue ahí. Ahora lo único que tiene es que deshacerlo y abrir la caja. Entonces verá cara y ganará la partida en todos los casos.

Esa es la ventaja que presenta un jugador que puede acceder a una estrategia cuántica frente a otro que se tiene que regir por las reglas clásicas.

Conclusiones y bibliografía

Esta entrada solo tiene un objetivo, picar la curiosidad. La teoría de juegos es de por sí una teoría matemática alucinante con problemas fáciles de enunciar pero jodidos de resolver. Si además le metemos la cuántica de por medio entonces la cosa ya es el despiporre.

Por si nos está leyendo algún purista y para ahorrarle la crítica constructiva hemos de decir que este modelo que hemos expuesto aquí es tan simple que puede ser emulado clásicamente. Sin embargo, lo he elegido por dos motivos:

  1. Porque me ha dado la gana.
  2. Porque es lo suficientemente simple como para poder entender la gracia del asunto con unas nociones breves e incompletas (por falta de pericia del que escribe, por supuesto) sobre superposición cuántica.

Si alguien se viene arriba después de leer esto y quiere profundizar en el tema dejo aquí un texto del 2005 que me parece muy ilustrativo y didáctico a pesar de ser una tesis doctoral:

Aspects of quantum game theory

Nos seguimos leyendo…

21 comentarios

  1. En el último paso del juego cuántico, cuando B recibe la caja, y la moneda tiene los estados superpuestos, si B decide abrirla no tendrá una posibilidad del 50% de que salga lo que no quiere?

    • Efectivamente, pero el rollo está en que primero revierte la operación inicial que hizo y así se asegura que gana la partida. Si abre la caja se rompe la superposición y no ganaría nada respecto al caso clásico, así que “Don’t open the box”.

      • ¿Es físicamente posible revertir una superposición o sólo fue una suposición para facilitar las cosas?

  2. Buena pregunta, J. Entiendo que el jugador B, de la misma forma que puede crear un estado superpuesto puede deshacer la superposición y luego observar y ver cara. Pero si mal no recuerdo, para deshacer una superposición hay que colapsar la función de onda, y creo que esto se hace observando, con lo cual debería haber ese 50% de posibilidad. Insisto, son suposiciones mías, que hace años que no cato la cuántica.

    De todas formas, un gran artículo. Una mezcla de dos temas apasionantes, sin duda. Muy estimulante y muy bien escrito.

    Pero bueno

    • Supongo que al igual que el botón imaginario te deja crear el estado superpuesto, también te deja colapsarla, y el modelo no explica como funciona este botón mágico, el modelo solo explica como funciona la teoría de juegos, es así?

      Gracias por la repsuesta y el artículo

  3. Pingback: No apuestes contra tahúres cuánticos

  4. Interesante, sólo una observación: la teoría de juegos sí se aplica al póquer (incluso nació íntimamente relacionada con este juego); no se aplica a juegos de información completa, como el ajedrez.

  5. A pesar del disclaimer permiteme hacer una crítica constructiva:

    Al preparar la superposición, Bob está violando las reglas del juego, que le premiten simplemente apretar el botón o no. Quizás se debería pensar que pasa si Bob pudiera apretar el botón y no hacerlo, de forma coherente. Es decir entanglear la moneda de la caja con una moneda que él tiene, y le sirva de referencia. Quizás así podría hacer que la operación de Alice acabe afectando al qubit de referencia y no al de la caja, de modo que Bob ganase siempre… No lo he pensado, pero seguro que alguien ya lo ha hecho…

    De todos modos esto tampoco está muy claro porque suponiendo que apretar el botón implementa una operación unitaria, si Bob no tiene acceso a los mecanismos que la implementan, está demostrado que no se puede coger una operación unitaria e implementarla coherente de forma condicional y determinista. Quizás haciendolo de forma indeterminista todavía permite una mejora respecto a la clásica…

    Saludos y enhorabuena por el genial blog

  6. Se me escapó el pero bueno del final, que escribo desde el móvil. Estoy de acuerdo contigo, J. Creo que el botón es la clave. Nuevamente, felicidades por el artículo.

  7. Hola:

    He visto que hay un cierto “problema” con el botón de B :)

    Agradezco los comentarios porque demuestran que se ha seguido el hilo de la entrada y que hay puntos oscuros en ella. Me alegro mucho.

    El único secreto aquí es que B tiene un mecanismo para poner la moneda en un estado superpuesto tal y como se comenta. Y siguiendo las leyes de la mecánica cuántica tiene que existir una transformación inversa que B puede realizar para romper la superposición sin colapsar el estado.

    Dicho de otro modo, B tiene los botones de A, es decir cambiar cara por cruz y viceversa y tiene otros dos botones, superponer y des-superponer.

    Toda la gracia aquí es que B puede acceder a estrategias cuánticas mientras que A no puede. Eso es lo que, en principio le da la ventaja a B.

    Por supuesto, como he leído en los comentarios también, la cosa se vuelve realmente divertida cuando se introduce el tema del entralazamiento cuántico. No he querido hablar de ese tema en esta entrada para no liarlo todo. En todo caso, prometo que escribiré una entrada hablando de entrelazamiento.

    Gracias por los comentarios y las críticas, todos recibidos y leídos.

  8. Se me escapó el pero bueno del final, que escribo desde el móvil. Gracias por las aclaraciones. Nuevamente, felicidades por el artículo.

  9. Cuando cualquier debate empieza con sentencias del tipo “el gato está muerto y el gato está vivo al mismo tiempo”, no podemos esperar nada fructífero del mismo.

    El gato estará o vivo o muerto. Otra cosa muy distinta es que no sepamos en cuál estado está, pero o está en uno o está en otro. Eso deben ser mantras que mil veces repetidos la gente se los cree. Sin ser yo físico ni nada de eso, una partícula ocupará una posición en el espacio. Si no se sabe cuál, pues vale, pero estará en una determinada posición.

    Me enervo al leer cosas así.

    Por cierto, ¿qué hace una revista como la vuestra ‘ofreciéndonos’ este galimatías?

    • A escala cuántica una partícula puede estar en muchos sitios a la vez por su naturaleza de onda, y sólo cuando la ‘observas’ o ‘experimentas’ se materializa como partícula en un punto determinado, en función de fórmulas como las expuestas por el autor. Esto ha sido comprobado infinidad de veces, no es ningún galimatías, y es ciencia desde hace muchas décadas. En este sentido el gato está vivo y muerto a la vez.

      A escala biológica, el gato efectivamente está muerto o vivo. Por la sencilla razón de que funcionan un montón de fenómenos físicos interdependientes cuyo estado llega a algún tipo de organismo biológico (conciencia) que lo realiza. En este sentido efectivamente el gato no puede estar en los dos estados a la vez.

      El problema es que a escala cuántica ocurren muchas cosas la ‘New Age’ intenta trasplantar a nuestra escala, y eso es lo que es discutible.

      • Ni cuántica, ni leches. Una partícula no puede estar en dos localizaciones distintas al mismo tiempo. Es imposible. Es un sinsentido. Ya sé que toda esa jerga se viene repitiendo desde hace mucho. Y que la gente abre sus ojos de forma desorbitada y al final se lo cree. Lo que ocurre en definitiva es que los físicos no saben dónde está la partícula. Punto. Es como si yo dijese que las llaves de mi coche pueden estar en cualquier lugar. Lo que ocurre es que no sé dónde están. ¿Conciencia?
        No hace falta recurrir a ninguna manifestación del sistema nervioso para determinar la muerte de un organismo. Lo que es indiscutible es que no se puede estar en dos sitios al mismo tiempo. Y mientras no establezcamos un punto de partida que no admita discusión, no podremos avanzar en el debate. Nos divertiremos, o nos enervaremos como es mi caso, pero no vamos a avanzar nunca.

        • Que atrevida es la ignorancia…

        • Es muy difícil explicar el fundamento de estas cosas. Como dice la entrada, al estar fundamentado a una escala a la que no estamos acostumbrados, es muy complicado poner analogías que funcionen. Creo que fue Feynmann quien dijo que la mecánica cuántica no se puede entender, que como mucho te acostumbras a ella.

          Quizá te resulte un poco más “asumible” si piensas que, a estas escalas, los comportamientos de las partículas se comportan como ondas. Y las ondas se pueden interferir entre ellas (sumándose, restándose), y no están en una posición determinada (o si lo prefieres, están en varias posiciones a la vez).

          Si quieres le doy la vuelta y te voy a hacer pensar un poco en el mundo clásico. Piensa en si sabrías decirme, con una precisión de un milímetro, dónde estás en latitud, longitud y altitud. ¿Qué tomas como referencia para la respuesta? El área de tus pisadas ya es mayor que ese milímetro. ¿Tomas tu centro de masas? Pero realmente “estás ocupando” lugares mucho más allá del punto que me estés dando. Resulta que estás en varios lugares a la vez, no en una posición.

          Ahora mete una mano en una jarra de agua congelada y la otra en una de agua hirviendo. Un estadístico te dirá que en promedio estarás bien, pero estarás “estando” en dos situaciones aparentemente antagónicas de frío y calor.

          Pues efectivamente, la cuántica no tiene absolutamente nada que ver con esto de antes :) Pero sí con lo de las ondas. ¿Dónde está algo que no es · sino ~~~~~~~~? ¿Y ese ~ es ( -girado 90º a la derecha- o ) -ídem-? Pues la respuesta es que está en varios lugares, y que ambas superpuestas.

          Be waves, my friend ;)

          (Y por favor, para el resto, es un tema lo suficientemente abstracto como para abstenerse de recriminar que alguien no lo visualice fácilmente; tened un poco de paciencia y tratad de explicarlo tal y como lo entendéis, que seguro que ayuda más que despotricar gratuitamente)

          Muchas gracias por la entrada, por cierto :)

          • Gracias Emilio, y gracias Ángel y Luis, por contestarme.

            A los dos últimos: Si vosotros tres fueseis físicos teóricos (cosa que desconozco), acabáis de demostrar con vuestras dos contestaciones que todas esas grandilocuentes frases de los científicos como por ejemplo: “En ciencia no importa quién proponga el argumento, sino el argumento en sí mismo” son vomitadas por la mayoría de vosotros (66%), y no hacen más que engañar al populacho. Os colgáis la vitola de personas razonables, de seres humanos racionales, pero no sois más que gente que desprecia el razonamiento de los demás. Con esos dos tercios, conformáis la religión de esta New Age; ese cientificismo mal entendido. Necesitáis un público que asienta con la cabeza todos vuestros asertos. Cuando fuisteis a la Facultad de Ciencias (si es que fuisteis, cosa que, repito, no sé), ¿no os dejaban disentir vuestros profesores? ¿Os llamaban ignorantes de forma despectiva cuando no sabíais algo o cuando habíais entendido algún concepto de forma errónea?

            Dais en saco vacío. No rebatís mi argumento, sólo me insultáis; no valéis para esto.

            Emilio (33%), muchas gracias por dedicar una parte de tu tiempo a contestarme, pero sigo dudando de que una partícula pueda estar realmente en varios sitios al mismo tiempo. Cuando dices “y no están en una posición determinada (o si lo prefieres, están en varias posiciones a la vez)”, no puedo aceptar este argumento. Una cosa es desconocer la posición y otra muy distinta decir que está en todas partes.

            Me propones que te diga las coordenadas de donde estoy y que lo haga con una precisión de un milímetro, pero no veo el problema en que te contestase con varios milímetros. Se pueden acotar sin ninguna dificultad. No entiendo la frase: “¿Dónde está algo que no es · sino ~~~~~~~~? ¿Y ese ~ es ( -girado 90º a la derecha- o ) -ídem-?”.

            Pero, hagamos una cosa, demos por buena tu propuesta de que no podemos establecer con precisión milimétrica el lugar en el que estoy, ¿convendrás conmigo, sin embargo, que una cosa es no poder delimitar exactamente mi posición y otra decir que “yo estoy en todas partes”?

            A uno de vuestros máximos exponentes se le atribuye la frase: “No entiendes algo hasta que eres capaz de explicárselo a tu abuela”. En sentido figurado, yo puedo representar el papel de la abuela, además estoy dispuesto a cambiar de opinión si hace falta, pero me da a la nariz que no lo tenéis muy claro.

            Un saludo.

            • Vaya, no había visto la respuesta. Yo soy ingeniero informático de formación, pero entusiasta de la ciencia por vocación, y tengo conocimientos muy limitados del tema. Mi base son blogs como éste, o el blog de “cuentos cuánticos” o el de “manzanas entrelazadas”, o el de “la Mula Francis” (este último cuando quiero recordarme cuánto me falta por saber, no suelo llevar a entender ni los titulares).

              Al turrón: lo primero es que la parte que no entendiste de lo que expliqué va a ser difícil de explicar con las limitaciones del ASCII, pero si entendiste que si algo es una onda “está” en varios sitios (igual que entendiste que para decir dónde estás en rigor necesitas algo así como un rango), el principio de incertidumbre lo que dice es que no puedes saber con precisión arbitraria (y ésa es una parte importante del asunto) la posición de una partícula y su momento. Voy a buscarte un multimedia al respecto que es bastante visual:
              http://toutestquantique.fr/en/

              Aquí hay un montón de fenómenos “raros” cuánticos explicados visualmente, ayuda mucho a “entender” cómo va la cosa.

              Aparte, en una capa más de abstracción, habría que hablar más de campos cuánticos que de partículas cuánticas, y asumir que una partícula es una excitación energética de un campo. La mejor analogía que se me ocurre es pensar en una gota de agua como en la salpicadura de una piscina que salpica gotas cuando se le añade energía, aunque en el mundo cuántico habría que añadir que cada gota es exactamente igual que cualquier otra -podríamos decir que es la misma gota-.

              Últimamente también he leído algunos títulos como “The Quantum Zoo” y estoy en proceso con “Odisea en el Zeptospacio”, que poco a poco, a base de repetir conceptos explicados de formas ligeramente distintas, ayudan a “aposentar” una realidad que nos queda muy distante como para verla fácilmente. y lo peor es que ni siquiera llegas a raspar la superficie cuando crees que estás entendiendo algo :D

              Pero bueno, también están abiertas las clases de Feynman. Aunque en muchos aspectos hemos ido más allá de sus propuestas, siempre es una buena idea seguir el desarrollo de este campo tal y como sucedió históricamente, compartiendo sus mismas dudas, participando de sus avances.

  10. Como ejemplo está bien. No contiene ninguna falsedad.

    Pero introducir una diferencia entre las acciones posibles entre los jugadores es eliminar la igualdad de la partida. Hace que el ejemplo de tahur cuántico esté forzado.

  11. Busca en la web EPR y sigue la flecha. No pares de leer en toda la noche. (Es un amable consejo para comentariodejado).

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