Parece ser que se ha resuelto la conjetura sobre las ecuaciones de Navier-Stokes. Se ha logrado a través del camino más fácil, mostrar un caso en que no se satisfacen («explotan», en la jerga). Esas ecuaciones son una simplificación estupenda de cómo se mueven los fluidos, así que es un resultado muy interesante. Había unos cuantos matemáticos detrás del asunto desde hacía años, pero la solución ha llegado a través de la inteligencia artificial.
Por lo visto, Tristan Buckmaster y Levent Alpöge, este último un matemático de Anthropic, llevaban un año atacando el problema de la explosión en tiempo finito por la vía que habían abierto Diego Córdoba y Luis Martínez-Zoroa. Lo hicieron a través de un procedimiento denominado «forzamiento». El 15 de agosto lograron reventar las ecuaciones de Euler, un subconjunto. El 8 de septiembre, anunciaron la explosión de Navier-Stokes completas a través de un documento de ciento sesenta y seis páginas formalizado en Lean (un lenguaje de programación para comprobar desarrollos matemáticos).
A partir de la buena nueva empezó una discusión sobre precedencia, el acceso a borradores privados y autorías que Buckmaster ha ido detallando en una nota pública. Anthropic lo niega todo. No entro en ese jardín, entre otras cosas porque a día de hoy la comunidad no ha certificado la prueba hecha por la máquina, y también porque creo que el problema del millón de dólares que se pretendía resolver se enuncia sin el término del que depende el truco. Ahora mismo solo espero que a Córdoba y Martínez-Zoroa no les pase como a Francis Mojica, que a pesar de ser el primero en idear una técnica genética fundamental, el CRISPR, no recibió el premio que merecía, en su caso el Nobel. A ver si fuera posible que esta vez saliéramos todos en tromba a defenderlos antes de que sea tarde.
Creo que hay un detalle en todo este tema que, a la larga, observando el gran esquema de las cosas desde arriba, tiene aún más relevancia que algo que es importante. Parece ser que la explicación en lenguaje natural que habían producido los modelos no era muy legible. Buckmaster y Alpöge se pasaron un tiempo considerable reconstruyendo los pasos uno a uno para escribirlos de manera que otros investigadores pudieran digerirlos. Esto muestra que la certeza sobre un resultado matemático y su comprensión se han separado. Sabemos que un teorema es verdadero antes de saber por qué, o de entender del todo la estrategia de resolución, a pesar de conocer todos los pasos.
Quizá haya llegado el momento de aceptar que existen demostraciones de teoremas que los humanos no podemos comprender. De hecho, lo raro sería lo contrario. Lo raro, lo estadísticamente improbable, lo que exigiría una explicación, sería que el conjunto de las verdades matemáticas demostrables coincidiese con el subconjunto de las que caben en un primate con memoria de trabajo de siete unidades, cuarenta años útiles de carrera y una velocidad de lectura de trescientas palabras por minuto. Esa coincidencia sería un milagro, una armonía leibniziana entre la estructura del ser y la capacidad craneal de una especie concreta de la sabana. Nadie cree ya en armonías así en ningún otro dominio, salvo en matemáticas. Ahí sí, porque creíamos que la matemática está hecha de la misma sustancia que nuestro pensamiento y no de una sustancia externa sobre la que se posa nuestro pensamiento.
Pongamos números. Si alguien leyese las trece millones de líneas de Lean de la demostración de la máquina a razón de una por segundo, sin pausa para entenderlas, tardaría cerca de cuatrocientos cincuenta días (en jornadas de ocho horas). Si dedicase un minuto a cada línea, que es aproximadamente lo que cuesta comprender de verdad un paso formal no trivial, tardaría setenta y cuatro años de jornada completa, sin vacaciones. Para entenderlo, además, tendría que ser como Funes el memorioso, el personaje del cuento de Borges, alguien que no olvidase nada de lo leído. La cifra no describe una dificultad técnica, sino una imposibilidad de género. No es que sea difícil, como es difícil la geometría algebraica o la diferencial. Es que no cabe en la cabeza. No es descabellado pensar que haya áreas enteras de las relaciones entre números y objetos matemáticos que no podemos ni concebir.
Para entender esto mejor hay que diferenciar dos cosas. Una es en qué consiste seguir una demostración. Otra lo que supone tenerla en la cabeza. Seguir paso a paso una demostración es una operación local: en cada momento uno mira dos renglones, comprueba que el segundo se sigue del primero, y avanza. Esa operación es siempre humanamente accesible, porque cada paso formal es, por definición, elemental. Tenerla en la cabeza, sin embargo, es una operación global: exige sostener simultáneamente la arquitectura completa, ver por qué esa rama y no otra, mantener la necesidad del conjunto y su imbricación. Esa capacidad tiene un techo biológico. Estamos en ese momento de los malabaristas en que hay que mantener demasiadas bolas en el aire. Tres bolas está bien, siete es un logro, pero treinta sería casi imposible. Y qué decir de doscientas bolas. Podemos imaginar fácilmente una prueba cuyos pasos podríamos verificar, uno a uno, pero cuya forma completa no comprenderíamos jamás, porque requeriría tener esas doscientas bolas en el aire. Esto es como recorrer una catedral con una linterna de un centímetro de radio. Todo lo que ilumino lo entiendo en ese momento. Pero la catedral, como objeto, no, salvo que tenga una memoria ilimitada. Por añadir un ejemplo adicional, no hay más que comparar las costas de los continentes cuando las dibujamos desde barcos en superficie con las que se ven desde los satélites. Lo local da una visión parcial que solo entendemos en su totalidad si es relativamente simple.
Wittgenstein sostuvo que una demostración debe ser abarcable con la vista (übersehbar decía él), y que lo que no puede abarcarse no es una demostración sino más bien un experimento. La exigencia del filósofo tiene su aquel, pues es cierto que una prueba que no se abarca no acaba de convencer. Pero esa exigencia es antropocéntrica, ya que fija el criterio de verdad en la anchura de nuestro ancho de banda mental. Además, hace décadas que abandonamos esa idea. La demostración del «teorema de los cuatro colores» en 1976 dependió de un cómputo que ningún humano ha revisado a mano. La «conjetura de Kepler» tuvo que esperar cuatro años al dictamen de un panel de doce árbitros que acabaron declarándose seguros al noventa y nueve por ciento. Hales terminó formalizándola, pero con un equipo de veinte personas. La clasificación de los grupos finitos simples ocupa varios miles de páginas repartidas en centenares de artículos de decenas de autores a lo largo de treinta años, y no existe ni ha existido nunca una sola persona que la haya verificado entera. Aceptamos ese teorema, lo enseñamos, construimos sobre él. Admitimos, por tanto, un enunciado cuya justificación completa no reside en ninguna mente sino en una comunidad, es decir, en una institución social con sus modas, sus olvidos y sus errores.
Hay mucha gente que ve todo esto como una gran desgracia. El que la justificación de Navier-Stokes resida hoy en un repositorio de Git y en un núcleo de Lean de unas pocas miles de líneas no es, en mi opinión, una degradación epistémica del conocimiento humano. Podría ser una mejora. Pero no todo el mundo está de acuerdo con esto. William Thurston afirmó que la tarea de los matemáticos no es producir demostraciones, sino producir comprensión humana. También que una prueba es interesante por los métodos que introduce, por la manera en que reorganiza un campo, por lo que permite hacer después. Y que un certificado de garantía de que las cuentas son correctas sin comprensión adjunta es estéril. Hay mucho de cierto en esto, pero el argumento tiene un pero. La comprensión es valiosa para nosotros como humanos, sí, pero no es necesaria para que algo sea verdad. Además, el camino hacia la comprensión no es solo el que va de la intuición a la prueba. Buckmaster y Alpöge acaban de recorrer el camino inverso, de hecho: primero ofrecen el certificado, y ahora vendrá la traducción laboriosa a algo más legible (pueden tardar un rato). La intuición de por qué funciona, o la comprensión, ese destello feliz, será lo último. Y me da la impresión de que este orden invertido no es un accidente de esta semana. Es, con bastante probabilidad, la descripción del oficio matemático durante las próximas décadas. Primero la máquina encuentra. Después el humano interpreta lo que se ha encontrado, si puede, y en la medida en que pueda, para otros humanos. Luego viene que alguien intente comprenderlo.
Para los humanos comprender, al fin y al cabo, es comprimir. Entender una demostración de cincuenta páginas significa poder contarla en cinco minutos en una pizarra, pero quizá eso ya no es posible. Hay una cierta idea casi nunca explicitada de que toda verdad admite una versión corta, aunque la teoría algorítmica de la información lleva sesenta años diciendo lo contrario, y con argumentos lógicos, no con teología. Chaitin demostró que casi todos los objetos matemáticos son incompresibles, que la mayoría de las verdades aritméticas carecen de razón más breve que ellas mismas, y que la incompletitud no es una rareza en el borde del sistema sino la condición general del asunto. Así pues, la pregunta correcta no es por qué habría teoremas incomprensibles. La pregunta es por qué durante dos mil quinientos años hemos encontrado tantos que son comprensibles. Y la respuesta es sencilla: porque solo buscábamos donde había luz y recogíamos lo que nos cabía en la cesta. Los teoremas bonitos, breves, concisos, no son una muestra representativa de la verdad matemática. Son una muestra sesgada por nuestras capacidades de percepción (muy limitadas) y de almacenamiento (unos pocos centímetros cúbicos de materia gris).
Y aquí llego a lo que más me interesa, aparte de romper una lanza por Córdoba y Martínez-Zoroa (que es el objeto principal de este artículo; evitar que se les hurte el mérito). El teorema de Fermat es fácil de formular: No existen enteros positivos a, b, c que satisfagan aⁿ + bⁿ = cⁿ para ningún entero n mayor que 2. Esto entiende un niño de doce años y se comprueba a mano para exponentes pequeños. Cabe en el margen de un libro, al contrario que su prueba. Esa trivialidad se ha leído siempre como una propiedad del teorema, como si la sencillez del enunciado y la dificultad de la prueba formasen una tensión hermosa que explica su fama. Pero la trivialidad no es del teorema, sino nuestra. Recordamos, coleccionamos y premiamos las conjeturas que se pueden escribir en una línea no porque sean las que están en el «El libro» que bromeaba Erdös tenía Dios, sino porque son las únicas que podemos formular, retener y transmitir. Fermat, Goldbach, Collatz, Riemann, los primos gemelos; todos esos enunciados caben en un tuit (los recojo abajo). No es casualidad. Es el mismo sesgo del instrumento operando a un nivel superior, en la capa de la pregunta y no en la de la respuesta.
Extiendo entonces mi tesis. Si hay demostraciones que no caben en nuestra mente, con mayor motivo habrá enunciados que tampoco quepan. No enunciados largos (que eso es fácil de imaginar y poco interesante) sino enunciados cuya formulación exija construir antes cuarenta mil definiciones encadenadas, cada una de las cuales solo tiene sentido a la luz de las anteriores. Enunciados que no se pueden expresar en castellano ni en inglés ni en la notación de Leibniz, y que, sin embargo, son verdaderos y profundos, y que quizá organizan regiones enteras del espacio de lo matemático.
Nuestra notación es una prótesis de compresión, en el fondo. Los índices, los vectores, los tensores, los diagramas conmutativos, los símbolos de Christoffel; cada uno de esos inventos amplió lo que podíamos pensar precisamente porque acorta lo que tenemos que escribir. Ayer conté a mis estudiantes de tercero de física las ventajas de usar el operador nabla para enunciar las ecuaciones de Navier-Stokes, lo compacto que queda todo. Toda la historia de la matemática se puede contar como una carrera entre la complejidad de los objetos y la capacidad de la notación para meterlos en unas pocas páginas. Esa carrera la hemos ganado hasta ahora. Pero no hay ninguna razón para pensar que la ganaremos siempre, y sí hay muy buenas razones para pensar que ya la hemos perdido y que nuestras capacidades son más bien modestas.
Una máquina no tiene estas limitaciones. No necesita comprimir, porque no necesita recordar en el sentido en que nosotros recordamos, ni entender en el sentido en que nosotros entendemos. Puede sostener un grafo dirigido de treinta mil teoremas y navegar a través de él. Puede, por tanto, explorar el espacio de los enunciados formulables en un sistema formal sin el filtro estético que a nosotros nos obliga a quedarnos con lo que suena bien o lo que seríamos capaces de entender y transmitir. No tiene eso que llamamos, quizá incorrectamente, intuición matemática; un sesgo al fin y al cabo. Y ahí, en ese espacio que no hemos visitado nunca, es donde está lo mejor de lo que viene. No solo pruebas de conjeturas viejas, que es lo que ha ocurrido esta semana y lo que está llenando los periódicos. Pronto veremos conjeturas nuevas, de un tipo que no sabremos entender. Relaciones entre objetos que no hemos definido nunca porque su definición no era conveniente para nuestro cerebro, porque no eran accesibles para nosotros. Eso no quiere decir que no lo sean para la superinteligencia que está naciendo.
Para quienes trabajamos en física esto ha dejado de ser una especulación de sobremesa. Es una promesa concreta y bastante cercana. Yo calculo todos los días con las ecuaciones de Navier-Stokes en los modelos de tiempo y clima (o más bien con parientes suyos truncados, promediados y parametrizados, porque estas ecuaciones son una idealización). Las uso sabiendo que su regularidad es un problema abierto, o lo era hasta anteayer. Que el forzamiento de Córdoba y Martínez-Zoroa lleve a generar una singularidad en tiempo finito dice algo importante sobre el estatus de estos modelos. Si se demuestra que es así, que las ecuaciones que usamos para predecir el tiempo se rompen en regiones del espacio de soluciones, eso es interesante. Aunque no debemos olvidar que las ecuaciones de Navier-Stokes son una idealización. La interpretación inevitable de la prensa sensacionalista va a ser que el agua en una cañería se puede parar o alcanzar una velocidad infinita, o que el aire se puede quedar trabado súbitamente, aunque las trayectorias marcadas por las ecuaciones no las visita, en realidad, ningún fluido del mundo físico, porque viven en el continuo matemático (la realidad es discreta, no continua).
La física de la atmósfera está llena de sitios donde no tenemos una teoría desde primeros principios, sino un ajuste, un apaño. Es el caso del cierre de la turbulencia, o algunos procesos en la microfísica de nubes. En general, esto lo resolvemos con unas parametrizaciones. En todos esos sitios hay, presumiblemente, una estructura matemática que no hemos sabido ver porque dar con ella exigiría manipular simultáneamente más objetos de los que caben en una cabeza. Un sistema capaz de proponer invariantes, simetrías o relaciones de cierre en ese espacio, y de demostrarlas, cambiaría la física computacional del clima más que treinta años de incrementos de resolución. No hablo de un ayudante que escriba código, ni de una red neuronal que acelere el cómputo. Hablo de un generador de hipótesis en un dominio en el que llevamos medio siglo sin hipótesis nuevas. La manera de entrarle a Navier-Stokes ha sido el forzamiento de Diego Córdoba y Luis Martínez-Zoroa, pero puede haber otras maneras de hacerlo. Quizá en las próximas semanas veamos alternativas que abran nuevas direcciones de trabajo.
Todo lo demás, el ruido, es contingente y pasará. El espectáculo de estos días está teniendo de todo: una llamada telefónica airada, una supuesta oferta de autoría única a cambio de excluir al colega que trabaja para la competencia, la frase «por qué ibas a arruinar tu carrera» atribuida por una parte y negada por la otra… todo un lío. Y detrás de todo eso, el problema del milenio resuelto por un resquicio que quizá la comunidad no acepte como la solución que tenía en mente. Las instituciones humanas, como la revisión por pares, la asignación de mérito, los premios y los programas de investigación están crujiendo con la IA, y crujirán más. Si no somos capaces de formar bien a los nuevos físicos y matemáticos pronto no quedará nadie capaz de entender las salidas de los modelos de IA. Y eso no será nada comparado con cuando empiecen a ofrecer resultados en ciencias sociales, donde algo puede ser muy lógico y racional pero indeseable de aplicar. Pero el crujido de las instituciones no es el asunto principal.
Para mí, el tema es el avance del conocimiento humano. La anécdota del margen del teorema de Fermat hay que leerla al revés. El margen para la demostración nunca fue estrecho. Lo estrecho es la cabeza humana. La novedad es que por primera vez disponemos de algo mucho más potente que nuestra adorada capacidad de abstracción. Hay que adaptarse, me temo. Hemos hecho este movimiento antes, y siempre nos ha ido bien. Aceptamos hace décadas que la Tierra no ocupa el centro del universo; que el ojo no ve la mayor parte del espectro electromagnético sino una banda muy estrecha; que nuestra intuición geométrica se estrella en la cuarta dimensión; y que el tiempo no es absoluto sino que depende de cómo se mueva el observador. Cada una de esas renuncias (de esos baños de modestia) amplió nuestra comprensión. La matemática era, en cierto sentido, el último reducto del antropocentrismo, porque parecía hecha de nuestro pensamiento y no de materia. Parecía tener nuestra forma por necesidad. Resulta que quizá no. Resulta que también ahí solo disponemos de un instrumento de apertura limitada apuntando a un cielo mucho mayor. Una linternita de unos pocos centímetros cuadrados que va iluminando más parcelas de las que podemos ir engarzando y recordando. Fermat escribió que su demostración era maravillosa pero que no le cabía en el margen. Tenía razón, aunque no en el sentido que él creía. Hemos tardado trescientos ochenta y nueve años en ampliar ese margen.
Adenda: enunciados que cito en el texto
Todos los enunciados que cito en el texto pueden escribirse en pocas líneas (lo cual es justamente el argumento de mi tesis). La brevedad del enunciado no dice nada sobre la longitud de su prueba, y menos aún sobre si esa prueba cabe en alguna cabeza.
Último teorema de Fermat. No existen enteros positivos a, b, c que satisfagan aⁿ + bⁿ = cⁿ para ningún entero n mayor que 2. Enunciado hacia 1637, probado por Andrew Wiles en 1995 con la colaboración de Richard Taylor en el paso que había quedado abierto, y formalizado en Lean en 2026.
Teorema de modularidad. Toda curva elíptica definida sobre los racionales es modular, esto es, su función L coincide con la de una forma modular. Wiles y Taylor probaron el caso semiestable, que es el que hace falta para Fermat, y el enunciado general lo cerraron Breuil, Conrad, Diamond y Taylor en 2001. La cadena se completa con el resultado de Ribet: si existiera una solución de la ecuación de Fermat, la curva elíptica que Frey construye a partir de ella no podría ser modular.
Teorema de los cuatro colores. Todo mapa plano se puede colorear con cuatro colores de modo que dos regiones con frontera común no compartan color. Equivalentemente, todo grafo plano admite una coloración propia con cuatro colores. Appel y Haken lo probaron en 1976 reduciendo el problema a un catálogo de configuraciones inevitables cuya comprobación delegaron en un ordenador. Georges Gonthier lo formalizó en Coq (un lenguaje como Lean) en 2005.
Conjetura de Kepler. Ningún empaquetamiento de esferas iguales en el espacio tridimensional supera la densidad π dividido por raíz de dieciocho, que es la que ofrece la disposición cúbica centrada en las caras (la misma que usa cualquier frutero con las manzanas desde los romanos). Thomas Hales anunció la prueba en 1998, los árbitros tardaron cuatro años y acabaron declarándose seguros al noventa y nueve por ciento. El proyecto Flyspeck la formalizó por completo en 2014.
Clasificación de los grupos finitos simples. Todo grupo finito simple pertenece a una de estas familias: los cíclicos de orden primo, los alternados de grado cinco o superior, los grupos de tipo Lie, y una lista de veintiséis grupos esporádicos que no encajan en ninguna regularidad. Algunos autores cuentan veintisiete e incluyen ahí el grupo de Tits, según cómo se clasifique. La prueba está repartida en centenares de artículos escritos por decenas de autores a lo largo de tres décadas.
Conjetura de Goldbach. Todo entero par mayor que 2 es suma de dos primos. Sigue abierta. La versión débil, que todo impar mayor que 5 es suma de tres primos, la probó Harald Helfgott en 2013, y a día de hoy continúa en revisión. No hace falta decir más.
Conjetura de Collatz. Tómese un entero positivo. Si es par, divídase entre dos. Si es impar, multiplíquese por tres y súmese uno. La afirmación es que la sucesión llega a 1 partiendo de cualquier número. Nadie sabe demostrarlo.
Hipótesis de Riemann. Todos los ceros no triviales de la función zeta tienen parte real igual a un medio. Un tema muy técnico, pero fácil de enunciar. La hipótesis lleva abierta desde 1859.
Conjetura de los primos gemelos. Hay infinitos primos p tales que p+2 también es primo. Abierta. Yitang Zhang probó en 2013 que hay infinitas parejas de primos separadas por una distancia acotada, y el trabajo posterior del proyecto Polymath y de James Maynard bajó esa cota hasta 246.
Incompletitud de Chaitin. Para toda teoría formal consistente y suficientemente potente existe una constante L tal que la teoría no puede demostrar ninguna afirmación de la forma «la complejidad de Kolmogórov de la cadena s es mayor que L», por más que tales afirmaciones sean verdaderas para casi todas las cadenas. Dicho de otro modo, casi todos los objetos matemáticos carecen de descripción más corta que ellos mismos, y el sistema no puede certificar ese hecho salvo en una cantidad finita de casos. Es la versión algorítmica del argumento sobre la compresión.
Existencia y regularidad para Navier-Stokes. Es uno de los siete problemas del milenio del Clay Institute, en la formulación que redactó Charles Fefferman. Para el flujo incompresible (no confundir con «incomprensible») en tres dimensiones, con condiciones iniciales suaves, con divergencia nula y decaimiento rápido, se pide demostrar que existe una solución suave para todo tiempo finito, o bien mostrar un caso que produzca una singularidad en tiempo finito (este último ha sido el camino seguido). La formulación oficial distingue cuatro casos, dos en el espacio libre y dos en el toro (la forma geométrica de un donut), y admite en la parte negativa un término de forzamiento externo sujeto a condiciones de suavidad. Ese término es el que casi nadie tenía en cuenta, y es el que sostiene el método de forzamiento de Córdoba y Martínez-Zoroa. De ahí mi duda sobre si el problema resuelto es el problema que la comunidad tenía en la cabeza.
Explosión para las ecuaciones de Euler. Las de Euler son las de Navier-Stokes sin viscosidad. El enunciado que Buckmaster y Alpöge probaron el 15 de agosto de 2026 afirma que existen datos que conducen a una singularidad en tiempo finito.
Los tres axiomas. Cuando se dice que la prueba de Fermat formalizada reposa sobre tres axiomas, se habla de los que asume el núcleo de Lean: extensionalidad proposicional, es decir, que dos proposiciones equivalentes son iguales; solidez del cociente, que legitima el paso a clases de equivalencia; y el axioma de elección en su forma clásica, del que se deriva el principio del tercero excluido. Todo lo demás se construye. Esa es la razón por la que la cadena de confianza es auditable, y por la que el problema no está en la prueba sino en si el enunciado formalizado dice lo que creemos que dice. Pero en primero de Matemáticas nos dijeron que el axioma de elección no es doctrina pacífica… hay gente, como los constructivistas e intuicionistas, que lo discute.
