Matemáticas romanas

Excuso, por archiconocido, el meme de la película de «¿Qué han hecho los romanos por nosotros?». Me limitaré a decir que, de haber tenido unas matemáticas decentes, hubieran podido hacer mucho más. Quizá hasta nos hubiéramos ahorrado un par de catástrofes, la del 476 y la de 1453. Tal vez el Imperio no hubiera caído, sino adaptado la moral cristiana a la idea de la república, contenido a los bárbaros gracias a una tecnología invencible y construido después una civilización católica centrada en el Mediterráneo que luego se habría extendido a América. Una fantasía.

Es también archisabido que el cero viene de la India y que llegó a Europa vía conquista musulmana. Los árabes y bereberes, además de reciclar las iglesias cristianas para hacer mezquitas (ahí está la de Córdoba, sobre la basílica de San Vicente, alzada sobre columnas y capiteles de iglesias visigodas de toda la región, con esos bellos —pero físicamente imperfectos— arcos dobles en herradura), también reciclaron el conocimiento clásico, y poco a poco saberes como la geometría fueron permeando al resto de Europa. Eso tampoco hace falta explicarlo.

¿Qué les faltaba a las matemáticas romanas? Muchas cosas, pero, sobre todo, el cero. Es refrescante darse cuenta de que lo que más les faltaba era el uso de la nada para calcular; un recurso que hoy damos por sentado, pero que los humanos hemos tardado siglos en aprovechar. Sin esa herramienta es farragoso hacer operaciones complicadas y avanzar en la ingeniería, que es lo que más les interesaba a los latinos originales. Por suerte, importamos el concepto. Sin su ayuda se hubiera hecho bola pasar de la filosofía natural a lo que llegaría a ser la física, la ciencia que ha construido el mundo contemporáneo. Le debemos mucho al concepto (en absoluto trivial) de cero.

Las cifras romanas eran terriblemente engorrosas. Sin herramientas, la suma escrita es un tostón, la multiplicación una tortura y la división una proeza. Pasaba lo mismo con las cifras griegas. Pero hay un malentendido al respecto. Los clásicos no calculaban con los números que escribían. Los signos servían para registrar el resultado, no para operar. Para operar tenían el ábaco, una tabla con varillas por las que corren piedrecitas. La palabra que hoy usamos para la rama más temida por los estudiantes de las matemáticas, cálculo, viene precisamente de calculus, piedrecita.

El ábaco es fácil de usar. Se aprende en primaria. Un romano competente movía sus fichas por las varillas y obtenía fácilmente el resultado de una suma o de una resta (al final del texto resumo el método). Después lo pasaba a limpio, pero lo hacía en letras incómodas. La limitación de las matemáticas de los romanos no estaba en su cabeza ni en sus dedos (usaban el sistema decimal, como nosotros), sino en un sistema numérico incapaz de operar a ciertas alturas. Y es que hacer las cuentas al final es lo de menos, como se aprende nada más empezar a estudiar matemáticas avanzadas.

No nos damos cuenta de lo farragosas que son las cifras romanas porque desde niños nos implementan un firmware mucho mejor. Pero imaginemos que un jefe de obra romano quisiera saber cuántas tejas hacían falta para cubrir uno de esos bloques de pisos que construían en Roma para apiñar a los plebeyos. Sabiendo que el área de una teja romana era de unos 1000 cm² y que debía cubrir 50 metros cuadrados, el señor querría averiguar cuántas unidades iba a necesitar. Dividir esas cantidades con números romanos, sin el cero, es una pesadez. Lo que hará al final es disponer dos hileras en el tejado, viendo cuántas caben de largo y de ancho, y multiplicar. Pero esa operación tampoco es inmediata. Y eso incluso si el maestro ha tenido suerte y le cabe un número entero. Supongamos que ha contado veinticinco tejas por hilera y que hay veinte hileras. Quiere el total. Eso hoy te lo hace de memoria una niña de doce años. Multiplicas veinticinco por dos, te sale cincuenta, le cuelgas un cero y ya tienes 500, el número de tejas que necesitas.

Pero ese «colgar un cero» es la clave. El jefe de obra de Roma no tenía esa facilidad. Nuestro sistema escribe el valor según la posición, de modo que multiplicar por diez no obliga a ningún esfuerzo mental, sino que se convierte en correr la cifra un lugar a la izquierda y rellenar el hueco con un cero. Lo mismo da hacerlo en la cabeza que en el papel. En ambos casos funciona el mismo atajo. Pero el romano no disponía de ese atajo en la escritura (sí en el ábaco). Veamos la multiplicación de 25 por 20. XXV por XX no se puede resolver moviendo las letras, puesto que esos signos no marcan la posición y no existe un cero que colgar. Multiplicar por diez no le resultaría fácil ni en la cabeza ni en la tablilla de cera, conque la única vía es bajar al ábaco. Sobre el tablero, el truco reaparece en forma física: el veinticinco lo tiene en una columna y, para multiplicarlo por veinte, vas acumulando piedrecillas y desplazándolas a las columnas de las centenas y los millares, que es como ese instrumento «cuelga los ceros». Pero falta transcribirlo, y de nuevo aparece un problema. Quinientos es D. En la notación romana los números más grandes no tienen más cifras. Hay muchos casos curiosos por ahí. Cinco mil seiscientos se anota con una raya sobre la V para los cinco millares y luego DC para las seiscientas, algo parecido a V̄DC, una grafía que cambia según la época y el copista. La tira de signos no revela que detrás había un siete por ocho con dos ceros añadidos.

El problema de los romanos no era menor con las fracciones. Los romanos no usaban el diez para las partes de la unidad, sino el doce. El as, la unidad, se dividía en doce uncias (origen de la palabra «onza», la doceava parte de una libra). De ahí salían nombres que parecen sacados de un juego de rol, pero que son la lista de las fracciones duodecimales en latín: el sextans valía dos uncias (2/12 = 1/6); el quadrans, tres (3/12 = 1/4); el triens, cuatro (4/12 = 1/3); el quincunx, cinco (5/12); el semis, seis (6/12 = 1/2, es decir: medio); el septunx, siete (7/12); el bes, ocho (8/12 = 2/3); y el dodrans, nueve (9/12 = 3/4). La palabra «pulgada» en inglés (inch) también viene de uncia, que es la doceava parte, esta vez, del pie.

¿Por qué usaban el doce como base, y no diez, para las fracciones? Por lo mismo que seguimos contando los huevos en docenas y no en decenas. Porque doce se divide de forma entera en dos, en tres, en cuatro y en seis, sin dejar resto; mientras que diez solo admite la mitad y el quinto. Un cartón de huevos de doce se puede repartir de más maneras iguales no triviales (4 × 3, 3 × 4, 2 × 6, 6 × 2) que si fuera de 10, que solo deja dos formas (2 × 5 y 5 × 2). Para un tendero que despachaba huevos, panecillos, aceite o grano, o para un jurisconsulto que repartía herencias, esa flexibilidad le facilitaba el día a día. La base duodecimal es útil para la vida del mercado, y por tanto no murió con nuestro tan llorado Imperio. De hecho, la próxima vez que el lector vaya al supermercado, ese epítome de la civilización occidental, fíjese en que ni las cajas de fruta ni las de huevos se basan en el sistema decimal. La base doce es muy útil, sí, pero poco práctica en ese ámbito.

Si se practica un poco pronto resulta fácil sumar con el ábaco. En los bazares de Estambul he visto a vendedores turcos hacer sumas a velocidades de reloj de cuarzo. Pero dividir con él es una tortura. Y la suma de fracciones también se complica. Imaginemos a un vendedor romano que ha de cobrar tres pedidos de la misma mercancía, cada uno tasado en una fracción del as. El primero es de un bes, ocho uncias; el segundo, un dodrans, nueve uncias; el tercero, un quincunx, cinco uncias. ¿Cuánto suman? El romano esto lo resolvía con el ábaco en la columna de las uncias, que llevaba cinco cuentas abajo, de una uncia cada una, y una arriba que valía seis (el resto de las columnas llevan cuatro unidades abajo y una arriba, que es un cinco). Si el lector se puede agenciar un ábaco en el bazar de la esquina, seguro que aprende algo replicando lo que creemos que era el procedimiento del romano. Él, para marcar el bes, ocho uncias, bajaba la cuenta de arriba, que vale seis, y subía dos de abajo, con lo que la columna muestra ocho. Añade ahora el dodrans, nueve uncias. Al pasar de once la columna no da más de sí, conque salta la regla del doce: retira doce uncias, lleva un as a la columna entera de su izquierda y deja en la de uncias lo que sobra, ocho más nueve menos doce, esto es cinco (las cuentas de abajo). La columna marca cinco; a su izquierda ha aparecido un as. Suma por fin el quincunx, otras cinco uncias. Cinco y cinco son diez, que aún caben sin desbordar, de manera que coloca la cuenta de seis de arriba y retira una de abajo para dejar cuatro. La columna queda en diez (la de arriba, que vale seis, más las cuatro de abajo). Resultado: un as en los enteros y diez uncias en las fracciones, es decir, un as y un dextans. 

Hoy, la cuenta es directa; de primaria. Con nuestros números sale de ojo 8/12 + 9/12 + 5/12: sumas los numeradores y divides por el doce común de los denominadores, de cabeza, sin más. Eso da 22/12. Luego reduces la fracción: 22/12 = 11/6. Al final divides y tomas el resto como fracción: queda 1 + 5/6. O, utilizando los números mixtos (una convención que algunos matemáticos desconocen), escribes 1 5/6, sin espacio entre el 1 y el 5/6 (para no confundirlo con un producto). Este último sistema se usa para las llaves de taller y la tornillería, además de tubos y conducciones. También para nombrar el andén desde el que sale el tren que lleva a Hogwarts desde la estación de King’s Cross, el andén 9¾.

Volvamos al cero. Lo que a nosotros nos resulta instantáneo, multiplicar por una potencia de diez, lo es gracias a un invento doble, la posición y el cero, que vive en nuestra escritura y por eso también en nuestra cabeza (esto que acabo de soltar, así como de pasada, me da para otro artículo). El romano no tenía esa ayuda. La idea de un signo para la nada cuajó en la India, donde los matemáticos no solo lo escribieron, sino que se atrevieron a operar con él, a sumarlo y restarlo como a cualquier otro número. Esa es la clave. Hace falta un clic en la cabeza y superar muchos prejuicios para hacer algo así. De allí, el cero pasó al mundo islámico, que lo recibió, lo estudió y lo difundió. Y a Europa llegó por dos puertas, ambas abiertas por el sur. Una fue la España musulmana, ese laboratorio donde, como recuerda el comienzo de estas líneas, se reciclaron iglesias, pero también bibliotecas. La otra fue un comerciante de Pisa, Leonardo, que de joven aprendió las cifras hindúes en el norte de África y, ya entrado el siglo XIII, las explicó a sus paisanos en un libro que enseñaba a calcular con nueve guarismos y un signo más, ese círculo que no es nada pero que lo cambia todo. Porque esto que he contado es solo una parte de las matemáticas, la aritmética básica, el álgebra, pero hay mucho más. La palabra álgebra, por cierto, viene a significar «componer», en el sentido de ajustar. Se nombraba así a los cirujanos de la época (algebristas), por aquello que hacen los traumatólogos de componer huesos. Y se aplicó a los alcahuetes, la versión Siglos de Oro de Tinder, atendiendo a que juntar a dos personas para que surja una chispa y se incendie la yesca (eso es lo que significa tinder en inglés) es un componer voluntades.

El cambio a las cifras hindúes no fue instantáneo. Durante generaciones convivieron dos bandos, los que seguían fieles al ábaco y los que defendían las cifras nuevas y sus posibilidades de cálculo. Algunas ciudades llegaron a prohibir los guarismos en la contabilidad, por miedo al fraude, ya que un cero mal cerrado se convierte en un seis o en un nueve con un mero trazo descuidado de la pluma. Pero la comodidad terminó imponiéndose, como suele ocurrir. El que sabía multiplicar sobre el papel, o incluso de cabeza, dejaba atrás al que aún movía piedrecitas. Un poco como ahora con las IA.

Luego se empezaron a hacer cosas más complicadas que nos proporcionaron otros saltos en el conocimiento que también han resultado ser importantes, como establecer qué significa dividir por cero, o elevar un número a cero. Leibniz ideó el sistema binario, unos y ceros, que siglos después se emplearía en la informática. Alardes del pensamiento abstracto que condujeron a una civilización, la nuestra, en la que se han alcanzado cotas nunca vistas de bienestar.

Acabando con el cero, hay por ahí una teoría (recién inventada) de que el Nuevo Testamento intentó introducir esta herramienta tan útil en el conocimiento occidental, pero que nadie se dio cuenta. Pensemos un poco. Si Yahvé hubiera querido darnos un empujoncito civilizatorio y hacerlo sin querer queriendo, como el Chavo del Ocho, ¿qué hubiera hecho? No era suficiente mandar a su hijo a explicarlo (o ir él mismo, esto depende de la corriente herética que uno siga: adopcionista, arriano, sabeliano, subordinacionista, triteísta, etc.). Si tenía que hablar con parábolas a sus discípulos para trasladarles ideas éticas escolares, imaginemos con el álgebra. No hubieran entendido nada. Había que dejar una pista contundente, algo más fino que un milagro y menos arduo que enseñar a Judas, que era el tesorero, a emplear el cero en las cuentas del grupo.

La pista estaría, según esta nueva doctrina herética, en el sepulcro de José de Arimatea. Piénsese: un lugar donde había un cuerpo y de pronto no hay nada. Sin embargo, es una nada que posee un significado profundo. Es un «es» (sin ser) en la ecuación de la historia, uno que cambia todo lo que viene después. Y es que es sabido que la clave de la teología cristiana reside en el Santo Sepulcro. Sin resurrección, el sistema teológico se desmorona y el drama del sacrificio en la cruz pierde su valor, su promesa de salvación. De la misma manera, el cero parece que no vale nada por sí mismo, pero coloca a los demás números en su sitio y multiplica su alcance. La resurrección viene a ser, dándole la vuelta y reuniendo los extremos, la notación posicional del alma. Es curioso que nadie en Occidente haya sabido leer este símbolo tan evidente.

Adenda: El ábaco romano

Ábacos los hay de muchos tipos: romano, medieval, chino, ruso, etc. Hay todo un maravilloso mundo de los ábacos ahí fuera. El de la ilustración que encabeza el artículo es romano. Está incompleto. Se han hecho reconstrucciones como esta:

Tiene dos partes: 

En las columnas principales (las siete de la izquierda), cada columna tiene una ranura superior corta y una ranura inferior más larga.