Cómo combatir una pandemia (II)

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18 de marzo de 2020. Morgue del Hospital de Ponte San Pietro (Bérgamo); el área con mayor número de infectados por COVID19. Fotografía: Cordon Press.

En la entrega anterior vimos uno de los parámetros esenciales de toda enfermedad infecciosa, el número de reproducción básica (R0) que nos da, en promedio, el número de contagios debido a una persona que ha contraído la enfermedad y está en fase infecciosa. Como ya comentamos, lo que se pretende con la «receta de Wuhan» es reducir R0, si es posible por debajo de 1 (como ha ocurrido en Wuhan y en Corea) y por tanto ralentizar o incluso detener la epidemia.

Ahora bien, ¿cuánto tiempo va a exigir semejante hazaña? ¿Y qué pasa después? ¿Desaparece la infección y podemos continuar con nuestras vidas? ¿O bien nos arriesgamos a que rebote apenas empecemos a juntarnos de nuevo?

Para contestar a estas preguntas necesitamos entender las nociones elementales de cómo se propaga una infección. Para ello es útil construir un modelo de la enfermedad.

De hecho, el oficio de los físicos —como el que suscribe— es construir, analizar y valorar la validez de los modelos con los que tratamos de describir el mundo. Algunos de estos modelos (sobre todo los que describen sistemas elementales como el átomo de hidrógeno) nos permiten realizar predicciones muy precisas. Otras veces nos contentamos con aproximaciones más groseras. Un chiste común en el campo dibuja a un físico teórico tratando de aplicar sus técnicas a la biología: «Sea un mono (otras veces es una vaca) esférico y sin rozamiento». La ironía captura el conflicto intrínseco de todo modelo, al que pedimos que sea lo más sencillo posible (para entenderlo claramente) y tan preciso como se pueda (para que arroje resultados fiables).

Empecemos por asumir que una infección como el COVID-19 es debida a un patógeno que produce la enfermedad durante un cierto periodo de tiempo, seguido de inmunidad. Esa inmunidad no tiene por qué ser permanente (no lo es en el caso de la gripe y posiblemente no lo sea tampoco para el nuevo corona virus), pero el modelo es más sencillo —y todavía válido en el contexto de un brote concreto—, si asumimos que la inmunidad es «permanente». A continuación dividamos la población en tres grupos. «Susceptibles» (S), «Infectados» (I) y «Recuperados» (R). Esta división en tres categorías da nombre al modelo, que se denomina SIR [1]. Hablando de simplificaciones. La versión más elemental del modelo, que es la que presentamos hoy, ignora la demografía (nacimientos o muertes no relacionados con la epidemia, así como movimientos migratorios) e incluye en la categoría de «Recuperados» a las personas fallecidas.

¿Cómo se mueven los individuos entre estas tres categorías? Una persona susceptible de ser infectada solo puede quedarse en su casilla o desplazarse a la casilla de «Infectado». A su vez, un infectado solo puede permanecer como tal un cierto tiempo (al que llamaremos «periodo de infección», T) y luego se convierte en «Recuperado» (incluso si muere). Otra simplificación útil que podemos añadir es asumir que el periodo de infección (y por tanto también su inversa, una cantidad a la que llamamos tasa de recuperación, g), es una constante del patógeno en cuestión. En el caso del corona virus, T ~7 días ( g ~1/7 recuperaciones por día).

La progresión de S a I involucra la transmisión de la enfermedad. Llamamos fuerza de infección, F, a la tasa, per capita, a la que nuevos individuos contraen la infección. Es decir, si la categoría S contiene X individuos, la tasa de nuevas infecciones es FX. Por otra parte, F es proporcional a tres cantidades: 1) al número de infectados —en ausencia de estos no hay brote—; 2) a la tasa de contactos entre individuos —si los individuos de una población están totalmente aislados, la infección no se propaga—; 3) a la probabilidad de transmisión, que depende del patógeno en cuestión. Por tanto, F = b Y/N, donde Y es el número de infectados, b es el producto de la tasa de contacto y la probabilidad de transmisión y N es la población total. La tasa de nuevas infecciones es por lo tanto F X = b X Y /N. El número de personas susceptibles de ser infectadas (X) disminuye con el tiempo en la misma proporción que aumenta el número de infectados. En notación matemática, escribimos la variación de una cantidad X con el tiempo (t) como dX/dt («lo que varía X  con t»). Por tanto:

dX/dt = – b X Y /N. (1)

Esto es: la disminución (especificada por el signo menos) del número de personas susceptibles (X) con el tiempo (dX/dt) es proporcional a ese mismo número (cuantas más hay más infecciones), al número de infectados (cuantos más hay más infecciones) y a b que como hemos visto es el producto de la tasa de contacto y la probabilidad de transmisión.

Si queremos que nuestro modelo no dependa de un número arbitrario como es el tamaño de la población, N, podemos definir S = X/N como la fracción de individuos susceptibles de infectarse en la población, I = Y/N como la fracción de individuos infectados y R = 1 – S – I como la proporción de recuperados. Por ejemplo, en un momento dado de la evolución de la pandemia podríamos tener un 80 % de susceptibles (0.8), 10 % de infectados (0.1) y otro 10 % de individuos «recuperados» (0.1). La suma de los tres grupos es la población total (100%). La ecuación (1) se reescribe entonces como:

dS/dt = –b S I (2)

A medida que la fracción de susceptibles disminuye, la fracción de infectados aumenta. Si los infectados no se recuperaran nunca, tendríamos simplemente que dI/dt = b SI. Por otra parte, una parte de los infectados deja de serlo, con una tasa e recuperación g (la inversa del periodo de recuperación). Por tanto:

dI/dt = b SI – g I (3)

Finalmente, el número de recuperados en función del tiempo es precisamente lo que le sustraemos del grupo de infectados, esto es:

dR/dt = g I (4)

Las ecuaciones (2), (3) y (4) especifican el modelo SIR más sencillo y definen como evolucionan con el tiempo las tres poblaciones (S, I y R) en función de dos parámetros, b y g. De hecho, nuestro viejo conocido R0 no es otra cosa que R0 = b/g.

Figura 1: Evolución de S, I y R para R0 =3, T = 7 días.

Las ecuaciones SIR pueden resolverse numéricamente. La figura 1 muestra la solución para R0=3 y T = 7 días, que son los parámetros que caracterizan la actual epidemia. Observe el lector como S (curva azul) varía a lo largo de 100 días, pasando de 1 (100 %) a ~0.05 (menos del 5%). R (curva verde) aumenta a medida que S disminuye y al cabo de cien días es 0.95. Es decir, si a una epidemia como el COVID-19 se le permite evolucionar a sus anchas, en 3 meses la mayor parte (95%) de la población se ha infectado y se ha recuperado (pero no olvidemos que las defunciones cuentan como recuperaciones, el modelo no distingue quién se cura y quién muere). La línea roja es la evolución del número de infectados, que crece exponencialmente al principio (hoy en día todavía estamos en esa fase de la curva), hasta alcanzar un máximo (cuando la fracción de susceptibles llega al 35 % aproximadamente) y luego decrece, también exponencialmente, a medida que nos quedamos sin población susceptible de ser infectada.

En el pico de la curva roja, la fracción de infectados es 30 %. Eso quiere decir que en una ciudad como Madrid, con 6.55 millones de habitantes, tendríamos, al mes de comenzar el brote, casi 2 millones de infectados. De estos, 20 % necesitarían hospitalización, lo que se traduce en casi 400 000 camas, veinte veces más de lo disponible en toda la comunidad de Madrid. Incluso si esas camas pudieran habilitarse, no hay que olvidar que alrededor del 1% de los casos se traducen en defunciones. Puesto que se infectaría el 95 % de la población,  tanto solo en Madrid se perderían del orden de 62 250 vidas (cien veces más de las que tenemos que lamentar en todo el país a la hora de escribir estas líneas).

Por otra parte, como vimos en la anterior entrega, las medidas de «distanciamiento social» pueden reducir el valor de R0. Recordemos sin embargo, que para valores superiores a 1, la epidemia no se abortaba y seguía desarrollándose. Por otra parte en las simulaciones solo mostrábamos el crecimiento exponencial del inicio del brote. Resolviendo el sistema SIR para diferentes valores de R0 podemos ver como se desarrolla el proceso completo.

Figura 2: Evolución de S, I y R para R0 =3, 1.8, 1.5 y 1.3 (T = 7 días).

La figura 2 nos muestra cuatro casos, correspondientes a R0 =3, 1,8, 1,5 y 1,3. El pico de la curva de infecciones se desplaza a la derecha (1 mes para R0=3, 2 meses para R0=1,8, 3 meses para R0=1,5 y cinco meses para R0=1,3), lo que para empezar, gana tiempo al sistema sanitario. En el pico de la infección tenemos (30 %, 12%, 6% y 3%) de casos, lo que exige, respectivamente, (393 000, 157 200, 78 600 y 39 300), superando en todos los casos, el número de camas disponibles. En cuanto a la mortalidad, incluso en el mejor de los casos se infectaría el 40 % de la población y acabaríamos con más de 26 000 víctimas solo en Madrid.

Figura 3: Evolución de S, I y R para R0 =1.3, 1.2, 1.1 y 1.0 (T = 7 días).

La figura 3 muestra el caso para R0 = (1,3, 1,2, 1,1 y 1). Para 1, como ya sabemos, la epidemia aborta. Para 1,2 la fracción en el pico de infección es 1.5 % (19 650 camas, una cantidad que no saturaría el sistema por los pelos, sobre todo teniendo en cuenta que hemos extendido mucho más todavía el periodo de tiempo). Para 1,1, la fracción es 0.5 % (6550 camas, bien dentro de la capacidad del sistema) y el pico ocurre a los 400 días. La bajada abarca otros 400 días, de tal manera que el desarrollo total de la epidemia ocupa dos años y medio, dando tiempo al desarrollo de fármacos (retrovirales, vacunas). La fracción de infectados bajaría al 20 % de la población total y si asumimos que la vacuna llega en un año, esta fracción podría bajar a 10 % y el número de muertes a 6550, todavía diez veces más que las actuales.

Las figuras 2 y 3 muestran el famoso efecto de «aplanar la curva» que justifica la imposición de las medidas draconianas que estamos sufriendo. Como el lector puede comprobar, dichas medidas son necesarias. El valor actual de R0=3 resultaría en una catástrofe. Por otra parte, para evitar el colapso del sistema, es necesario, como hemos visto, reducir R0 hasta 1,2 como mínimo.

Pero observemos dónde están los picos de las curvas que podemos tolerar. La de 1,2 en 250 días, la de 1,1 en 400 días. El estado de alerta se ha decretado por quince días. Presumiblemente se extenderá a un mes, quizás a dos, como ha ocurrido en China. ¿Y después?

Dentro de dos meses, la estacionalidad del virus (si hay suerte) puede dar un respiro extra y quizás añadir dos o tres meses de prórroga, en los que la epidemia pueda seguir desarrollándose con un R0 muy bajo sin que para ello sea necesario tomar medidas extremas. ¿Pero qué ocurrirá al llegar el otoño? ¿Nos castigará el virus con una nueva oleada? No parece en absoluto improbable y ni siquiera podemos excluir que llegue una nueva cepa capaz de saltarse la inmunidad de los que han sufrido y se han recuperado de esta oleada. Parece inevitable que la situación se mantenga muy complicada hasta que no haya una vacuna disponible. Por otra parte no es en absoluto evidente que la población y la economía toleren medidas extremas durante tiempos demasiado largos.

Resulta imperativo reflexionar sobre los sencillos gráficos que hemos comentado hoy. Las ecuaciones SIR son el A,B,C de la epidemiología. Todos los epidemiólogos del mundo sabían que esto podía pasar desde hace décadas y ciertamente no se han callado al respecto [2]. Estas cuentas estaban clarísimas para todos los expertos desde el inicio de la crisis en Wuhan. Y sin embargo el problema solo se declaró emergencia global por parte de la OMS el 31 de Enero, hace poco más de mes y medio y hasta hace diez días, no se empezó a actuar en España (que por otra parte ha mostrado más o menos la misma falta de previsión que el resto de los países Europeos).

¿Qué ha pasado aquí? ¿Cómo es posible que a nadie se le ocurriera, cuando empezó el brote en China, que convendría abastecerse de mascarillas y guantes, comprar kits de test del virus, revisar capacidad hospitalaria, planear logística? De hecho, estoy seguro de que se le ocurrió a mucha gente, con lo que la pregunta más relevante es por qué no les hicieron caso. ¿Cómo es posible que cuando empezaron los problemas en Italia no se intentaran habilitar en España y otros países de Europa medidas enérgicas «a la Corea del Sur», que quizás habrían permitido manejar mejor el problema? ¿Cómo es posible que se alentaran concentraciones masivas el 8 de marzo cuando los cálculos más elementales avisaban lo que se nos venía encima?

En «The end of epidemics» [6], el autor, J. D. Quick, escribe: «¿Por qué no estamos desplegando absolutamente todos los recursos que tenemos para asegurarnos que el próximo brote epidémico no se convierta en una catástrofe global?». Pues bien, se diría que la catástrofe global ya está aquí.

(Continúa aquí)


[1] W. O. Kermack and A. G. McKendrick, Proc. R. Soc. A 115, 700 (1927).

[2] Como muestra un botón. Pero hay muchísimos más.

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5 comentarios

  1. Gracias por aportar luz ante semejante problema.

    Saludos y Salud.

    PD: Considerar posibilidad de asesorar al Gobierno.

  2. Funestini

    Bueno, yo no quería decir nada pero este señor lo ha dicho todo. Lo bueno es que habrá quien lea esto y aun no se dará por enterado. ¿Lo sabéis ya, verdad? Sabéis que hemos llegado al final del viaje. Sin zombies, pero al final. Aquí se acaba todo y esto es el principio del fin. Hablad todo lo que quisierais haber hablado con esos seres más o menos cercanos y que nunca hablasteis porque era mejor dejarlo para otro momento. Pues bien, los momentos se van a acabar a velocidad de vértigo cuando veáis que los que mueren no son antiguos presidentes de clubes de fútbol, o padres de políticos, sino el presidente de vuestra comunidad de vecinos, el hijo de 12 años de una conocida y esa prima de Móstoles que es 10 años más joven que vosotros.
    El fin ya ha llegado.

    • Me guardo su comentario para poder preguntarle si sigue siendo un triste cuando los demás hayamos vuelto a la normalidad

  3. Sin querer desmerecer en ningún caso la esmerada y acertada labor divulgativa del artículo, encuentro, cuanto menos, sesgada y tendenciosa que la única referencia a concentraciones de personas sea las manifestaciones del 8 de marzo.

    Dicho esto, muchas gracias por los artículos.

  4. José Miguel

    Estupenda serie de artículos que deberían difundirse y expandirse mucho más allá de este loable rinconcito que es Jot Down. ¿Para cuándo la tercera entrega?
    Abrazos, JM

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