Los matemáticos somos gente dada al entusiasmo. Quizá no se nos vea por las facultades o las empresas gritando como energúmenos, dando saltos o abrazando al primero que nos encontramos, pero esto es porque nuestro entusiasmo no necesita en general de expansiones públicas ni juerga vocinglera. Es un entusiasmo íntimo. Sea cuando consigues resolver el problema que te preocupaba durante meses, cuando reconoces la genialidad de una idea, o cuando captas la belleza oculta y, sin embargo, indiscutible de un razonamiento, un fuego que no admite confusión te llena el corazón, tu cuerpo entero sonríe —aunque a veces no lo exteriorice más que en un leve gesto— y una oleada ardiente te invade y te recuerda que en esos momentos, sin duda alguna, estás vivo y la vida merece ser vivida. Casi arriesgaría que estos clímax instantáneos se hallan presentes en el fondo de la vocación de cualquier matemático.
Hace unos días, preparando una clase, volvió a mí durante unos segundos la maravillosa sensación. Aparecida ante mí como si la viera por primera vez, relumbró en mi mente la imagen poderosa del polinomio cromático, y de un golpe, como una epifanía, contemplé la dosis inmensa de genialidad que debió ser necesaria para concebir tal concepto, que supone un puente entre la geometría y el álgebra —o lo que es lo mismo, entre el dibujo y el número— de una elegancia, economía y precisión casi incomparables. Tras recuperarme un poco reparé en que cualquiera puede entender las ideas necesarias para captar la esencia del asunto dedicándole solo un rato de lectura más o menos atenta; y así, convencido de esto, consideré poco menos que un deber escribir este artículo, en la esperanza inicial de transmitir una sensación parecida a la mía, y en la más ambiciosa de que gente que ve las mates como algo ajeno a su vida pueda, por un momento, sumergirse en ellas y disfrutar.
Antes de llegar a las maravillas del polinomio cromático, primero tendremos que hablar un poquito de grafos. Seguramente, los grafos están entre los objetos matemáticos más importantes que uno pueda citar, y a diferencia de otros, se entiende lo que es un grafo al primer golpe de vista. Aquí tenemos un par de ejemplos:
Vistos y aprehendidos los dibujos, entender una definición un poco más formal resulta sencillo. Un grafo será un conjunto de vértices V y otro de aristas A, tales que cada arista de A tiene como extremos dos vértices distintos de V. En ocasiones, se permite que haya aristas cuyos vértices inicial y final sean el mismo (grafos con lazos) o que dos aristas puedan compartir los mismos vértices inicial y final (multigrafos). Sin embargo, en este artículo solo hablaremos de grafos simples, en los que no se permite ninguna de las dos veleidades anteriores. Además, asumiremos que el número de vértices (y por lo tanto el de aristas) es finito.
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Muy interesante el artículo, ojalá más gente se interese por las matemáticas poco a poco.
Un ppequeño apunte: ¿no queda raro eso de «un ironman diario tres veces al día»? O es un ironman al día o son tres. Aunque yo supongo que sufriría un paro cardíaco con intentar hacer medio
Me parece que el autor no ha entendido bien la teoría de grafos; no parece acabar de captar las relaciones binarias representacionales establecidas entre vértices y aristas con sus respectivos nodos, tal como ya dijera Leonhard Euler en su problema de los Puentes de Koenigsberg.
Ademñas, ha ignorado el principio de adyacencia que caracteriza las propiedades de los grafos.
Que yo sepa, las «las relaciones binarias representacionales establecidas entre vértices y aristas con sus respectivos nodos» no tienen nada que ver con la teoría de grafos. En todo caso, con la aplicación de la teoría de grafos, pero uno puede trabajar en la teoría sin necesidad de preocuparse por esas cosas.
«Ademñas, ha ignorado el principio de adyacencia que caracteriza las propiedades de los grafos.»
Esa frase ni siquiera tiene sentido.
Por favor, si vas a venir a trolear y a hacer como que sabes mucho, lo menos que podemos pedirte es que de hecho lo sepas. Y no es el caso.
Gracias por el artículo.
Creo que hay un error en:
«Consideremos el grafo que tiene n vértices y ninguna arista. Dada una paleta con k colores, ¿de cuántas maneras podemos colorearlo? Para el primer vértice, podemos asignar k colores, pero para el segundo también, y para el tercero, y para el cuarto, porque no hay ninguna restricción (no hay aristas). Por tanto, el polinomio cromático de este grafo será exactamente kn, que es claramente un polinomio en k. El lector puede hacer la prueba, por ejemplo, con tres vértices y dos colores, para obtener exactamente nueve coloraciones diferentes.»
Serían ocho coloraciones no? 2 elevado a 3.
Gracias!
Gracias, Adrian, de hecho no tenía ni idea de lo que estaba diciendo (las tablas de multiplicar ya me van justas) pero pretendiar soltar una parrafada y que alguien contestase indignado, llevaba ya dos días esperando la respuesta y había perdido toda esperanza. Gracias!!!!!
Es un pequeño error tipográfico. El n es un superíndice, lo que pasa es que se ve demasiado grande ;) Gracias!
Y tienes razón, por supuesto, debe poner ocho coloraciones, no nueve. Eso es errata mía, lo rectificamos en cuanto sea posible. Gracias!
Pingback: Ramón Flores: Entusiasmo por el polinomio cromático | Texto casi Diario
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Preguntó Salvador Dalí a una persona cúantos colores veía en un árbol. Pues el verde claro y el oscuro le contestó, más o menos. Yo veo miles de verdes respondió Dalí. He entendido que una cosa son vértices y otra aristas. Figuras inscritas completas. Pero un único vértice de una figura completa forma parte de otra figura completa por lo cual el color de este vértice seria la aleación de los colores asignados a las figuras completas de que forma parte -¿Son triángulos, son multilados, regulares o irregulares?- Es decir que necesitaríamos una paleta supernumeraria y por otra parte el ojo humano reconoce o distingue hasta cierto tipo de tonalidad. De ahí que se pretenda simplificar en dos, tres , cuatro etc. Es como la música, donde el intervalo entre un tono, se puede subdividir pero llegará que el oído ya no sabrá reconocer la desafinación. Grafos, vértices, polinomios, álgebra . . . y que sirven para ver a golpe de vista una condición en la exacta que deriva. Informática, genética y etc. Usted se explica de maravilla. Es sin duda un buen y apasionado matemático. Lamentamos no estar a la altura para la resolución e innovación. Ya sabe la educación media que tuvimos. Un saludo y excelente usted.
Hola Brigett, yo también soy un lector de este artículo al que le ha gustado mucho. Me gustaría decirle que estoy de acuerdo con usted en que la educación básica e intermedia de Matemáticas que se imparte en nuestro país es, en general, escasa y de mala calidad. Podríamos discutir largamente sobre las razones de esta anomalía tan perjudicial para todos, pero me gustaría, por el contrario, aportarle una dosis de esperanza.
En efecto, nunca es tarde para aprender. Pienso que un ingrediente esencial en el aprendizaje de las Matemáticas, que estoy seguro de que pueden proporcionarle gran placer intelectual, es la perseverancia. Con un poco de esfuerzo puede comprender usted todo lo que se proponga. Hay excelentes libros de divulgación en español, quizás yo no sea el más indicado para aconsejarle pero puedo recomendarle uno: Matemáticas, una breve introducción, de Timothy Gowers. Es un libro muy corto pero fascinante.
Espero que le guste.
Matemáticamente suyo,
Néstor
¿Educación básica escasa? Depende. Yo soy profesor de matemáticas de secundaria y, en mi opinión, uno de los principales problemas con el currículo matemático es que es demasiado extenso (demasiados contenidos). Como consecuencia no da tiempo de afianzar los conceptos básicos ni de practicar lo más importante: la resolución de problemas y el razonamiento matemático.
¡Felicidades por el artículo! Muy interesante, me quedé con una pregunta: ¿es fácil demostrar que el polinomio cromático no depende de la elección de aristas que quitamos?
Muchas gracias y un saludo,
Néstor
Es un placer ver artículos de matemáticas que vayan más allá de curiosidades y que no consideren al lector estúpido… felicidades por el artículo, en el que abordas un tema nada trivial, aunque sobradamente interesante.
Una única crítica para mejorar: En la figura de los grafos (dcha) hay una arista que conecta dos vértices del mismo color (azules). Por lo tanto, en este caso, el pie de página diciendo «un grafo coloreado» puede inducir a confusión, puesto que el tema de la coloración consiste, precisamente en evitar esta situación.
Un abrazo
Bernat
@Nestor Es fácil ver que el polinomio no depende de la elección de aristas, porque la fórmula principal (dejarlo en función del grafo
diferencia y el grafo cociente) es válida quitemos la arista que quitemos, y por tanto el proceso de iteraciones debe llevar indefectiblemente al mismo polinomio. El lado izquierdo de la igualdad nunca cambia. Por otro lado, muy buena la elección de Gowers,
gurú de la matemática discreta.
@Bernat Tienes razón, ahí sólo quería ilustrar el concepto de grafo y se me pasó esa arista. Espero que no induzca a demasiada confusión. Gracias ;)
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