El ajedrez y los espejos

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Foto: Pixabay (DP)

Este texto ha sido finalista del concurso DIPC de divulgación científica de Ciencia Jot Down 2019.

Sentados a ambos lados de una pequeña mesa situada en el centro de la sala, los dos jugadores contemplan el tablero en silencio. Al cabo de unos minutos, uno de ellos propone tablas y el otro las acepta. Pero no retiran las piezas, sino que siguen contemplándolas ensimismados, cada uno sumido en una partida imaginaria que se ramifica sin fin. De pronto, uno de los jugadores, al que llamaremos el poeta, dice:

—Anoche tuve un sueño a la vez fascinante y desazonador. Estaba en un gran palacio lleno de habitaciones que se comunicaban entre sí, y en cada una había un par de ajedrecistas ante un tablero estudiando una posición, como nosotros ahora. Yo iba de sala en sala analizando las posiciones, todas muy similares pero todas distintas, y en un momento dado alguien (uno de esos personajes oscuros que en los sueños hacen las veces de emisarios de una autoridad o sabiduría superior) me susurraba al oído que en aquel palacio estaban representadas, cada una en un tablero, todas las posiciones posibles del ajedrez.

—Has tenido un sueño realmente desmesurado —comenta el otro jugador, al que llamaremos el matemático—. Un sueño tan grande como nuestra galaxia.

—¿Tantas son las posible posiciones del ajedrez?

—No hay más que fijarse en lo vertiginosamente que crece su número a medida que progresa la partida. Como bien sabes, las blancas pueden abrir de 20 formas distintas: cada uno de los peones puede avanzar una o dos casillas y cada uno de los caballos puede ir también a dos casillas diferentes. Y como a cada movimiento de las blancas, las negras pueden responder a su vez de veinte formas distintas, tras la primera jugada de las negras hay 20 x 20 = 400 combinaciones posibles. Tal vez 400 posibilidades no parezcan muchas; pero es que solo estamos en la primera jugada y la mayoría de las piezas están bloqueadas por los peones. Tras el segundo movimiento de las blancas, las posiciones posibles son 5326, y tras el segundo movimiento de las negras, 72 084. Tras el tercer movimiento de las blancas hay unas 800 000 posiciones posibles, y más de 9 000 000 tras el tercero de las negras… Mediante cálculos aproximativos, se ha estimado que el número total de posiciones compatibles con las reglas del juego es del orden de veinte septillones: un 2 seguido de 43 ceros.

—Un número sobrecogedor que no alcanzo a imaginar —reconoce el poeta—; pero ¿realmente crees que ese número llenaría la inmensidad de la galaxia?

—La Vía Láctea es un disco de unos cien mil años luz de diámetro, luego la superficie del círculo máximo de nuestra galaxia es de casi un septillón de metros cuadrados. Un palacio cuya planta tuviera esa superficie, con cada tablero en una habitación de unos diez metros cuadrados, habría de tener más de doscientos pisos para albergar todos los tableros de tu sueño.

Tras una perpleja pausa, el poeta dice:

—Y sin embargo, en cierto modo, todos esos tableros y muchos más están aquí, en esta sala.

—¿Qué quieres decir?

—¿No has observado que estamos entre dos espejos paralelos? —contesta el poeta señalando a derecha e izquierda—. Estos espejos repiten nuestras imágenes, y la del tablero que hay entre nosotros, hasta el infinito. Imaginemos que en cada uno de los tableros de los espejos cambia ligeramente la posición de las piezas, y nos tendremos a nosotros mismos examinando todas las posiciones del ajedrez.

—Lo que dices es fascinante, pero no del todo exacto. Aun suponiendo que los espejos fueran perfectos y reflejaran toda la luz que incide en ellos sin absorber ni un fotón, no tendríamos aquí ni una ínfima fracción de los tableros necesarios.

—No lo entiendo. ¿No es cierto que los espejos paralelos repiten las imágenes hasta el infinito?

Hacia el infinito, en todo caso —precisa el matemático—, pero sin alcanzarlo nunca, puesto que la velocidad de la luz no es infinita y las sucesivas imágenes se van formando a medida que rebota de un espejo a otro. Imagina que estamos a oscuras y de pronto se enciende la luz. En realidad, no nos veríamos inmediatamente en los espejos, pues la luz tardaría un cierto tiempo, ínfimo pero no nulo, en ir de nosotros a cada espejo y volver. Considerando que estos dos espejos distan unos diez metros el uno del otro y que nosotros estamos más o menos en el punto medio entre ambos, la luz tendría que recorrer cinco metros para ir de nosotros a cualquiera de los espejos y otros cinco para volver a nuestros ojos. Como sabes, la velocidad de la luz es de unos trescientos mil kilómetros por segundo, por lo que en recorrer diez metros tardaría una treintamillonésima de segundo. Al cabo de un lapso insignificante (pero no nulo) veríamos una imagen en cada espejo. Y si pudiéramos detener el tiempo en ese momento solo veríamos esas dos imágenes, pues la luz aúno no habría ido de un espejo a otro para empezar a multiplicarlas. Cada treintamillonésima de segundo, que es lo que la luz tarda en recorrer los diez metros que separan los espejos, se formaría una nueva imagen en cada uno.

—Y así hasta el infinito. O hacia el infinito.

—Sí, pero a un ritmo muy lento.

—¿Lento? ¿Treinta millones de imágenes por segundo en cada espejo te parece un ritmo lento?

—Para nuestros propósitos, mucho más lento que el avance de las estalactitas, que, como sabes, tardan siglos en crecer un centímetro. No hay más que hacer unas cuantas operaciones sencillas: cada segundo se forman treinta millones de imágenes en cada espejo ideal; entre los dos, nos brindan sesenta millones de tableros virtuales. Llevamos aquí aproximadamente una hora, por lo que en este tiempo dos espejos paralelos perfectos habrían generado unos doscientos mil millones de imágenes. En un día generarían, por tanto, unos cinco billones, y en un año casi dos mil billones.

—¿Te parecen pocas?

—Poquísimas. Insignificantes. De una insignificancia no menos difícil de concebir que la inmensidad de la galaxia. No olvides que, para cumplir tu sueño, necesitaríamos unos veinte septillones de tableros. A un ritmo de dos mil billones por año, harían falta diez mil cuatrillones de años para generarlos. No es probable que el universo dure tanto.

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19 Comentarios

  1. Estas elucubraciones sobre las medidas del universo han despertado en mí viejas inquietudes que abandoné por el vértigo que causan, especialmente debido a esa frase que usted usa: HACIA el infinito, pero sin alcanzarlo nunca. No sé porque, pero en su fondo teórico, digamos irracional, es más o menos la misma que (San Agostino?) usaba para explicar el tiempo: cuando no pienso en él lo entiendo, pero cuando lo pienso y quiero explicarlo no puedo. Y ya con esta respuesta para “explicar” algo que no explica nada entra con título y competencias incontrastables el lenguaje, producto de nuestra experiencia sensorial. Y aquí me detengo, ya que lo poco que sé son como las medidas del universo: jamás sabré el límite y sus eficacias. Y disculpe el siguiente desvarío que solo con la luz y su velocidad tiene algo que ver con el tema tratado: así como podemos ver el nacimiento o muerte de una estrella, espero que un día se pueda ver el nacimiento de nuestro planeta, y solo en imágenes observar los hechos históricos que nos han precedido, lo que implica que el Universo tendría que ser una esfera, dentro de la cual la luz gira eternamente. Sería fantástico. Y está de más decir que usted ha hecho un debido homenaje a nuestro Borges y sus espejos, pero que en vez de buscar en ellos las medidas del universo los usaba para exteriorizar su grandiosa misantropía. Excelente lectura, caro Frabetti.

    • Yo no soy muy amante de Borges, pero creo que su obra tiene una peculiar dimensión humanística, a pesar de su velada (o no tan velada) misantropía. Al igual que su maestro Chesterton, creo que era menos reaccionario de lo que él mismo pretendía. Excelente lector, caro Eduardo.

      • Treinta millones de miradas en espejo, no es la mirada del otro borgiana y en contraposición con los otros, proyectarán un pasado tablerístico, dónde la imagen izquierda de unos, sea la derecha
        de los otros..en multiversos infinitos.

        Buen relato.

        • «La imagen derecha de unos es la izquierda de otros». Qué frase tan sencilla y, a la vez, tan reveladora. Nos olvidamos a menudo de que al mirarnos al espejo no vemos nuestra imagen sino su simétrica.

    • En cuanto a las imágenes del nacimiento de nuestro planeta, podrían estar viéndolas ahora mismo los astrónomos de una avanzadísima civilización de un planeta situado a 4.500 millones de años luz de nosotros. Tal vez las registren y nos las muestren algún día.

    • Gracias, Àlex. No hay mayor estímulo para seguir escribiendo (sobre todo cuando tocas temas tan marcianos) que el interés de los lectores.

  2. No soy de números y me cuesta seguir estos razonamientos. Soy lo que llamarías un anaritmeto (creo que nos llamas así en algún libro tuyo). Tendré que leerlo de nuevo… y aún así… Lo que me ha fascinado es lo de: «y si pudiéramos detener el tiempo en ese momento…» ¿Se puede detener el tiempo? ¿Se puede saber qué es el tiempo? ¿Significa el tiempo lo mismo para Proust que para un científico? En fin… El Tiempo. Hasta mañana…

    • Ante números tan monstruosos, todos somos anaritmetos: ni remotamente podemos concebirlos. Y el tiempo tampoco se deja atrapar por nuestra mente; te remito al comentario de Eduardo Roberto, que cita a San Agustín: «Cuando no pienso en el tiempo sé lo que es, pero si pienso en él ya no lo sé». Es una experiencia primaria, básica, la sustancia misma de la vida. Y, tal como apuntas, es distinto para cada persona. E incluso para una misma persona varía continuamente. ¿Se puede detener? Solo en el cero absoluto o en un agujero negro, tal vez. Pero podemos detener fácilmente su representación: pulsando el botón de «pausa» al ver una película. Lo detienen los fotógrafos y los pintores…

  3. Creo que mi comentario anterior, confuso, confusional y exagerado, es producto del entusiasmo que me causan sus artículos, caro Frabetti. Yo solo quería evidenciar las sugestiones que despiertan ciertas frases en boca de matemáticos que solo pueden ser entendidas irracionalmente, y no con el intelecto. Decir “hacia el infinito sin alcanzarlo nunca” evoca imágenes fantásticas y esperanzadoras que van más allá de nuestra condición física, pero a la vez me está diciendo que el infinito infinito no es ya que continua a escapar. Pero prefiero la primera constatación irreflexiva, como asimismo la que causa el pensamiento: cuando no pienso en él, sé lo que es el tiempo, pero cuando quiero explicarlo no puedo. Y pareciera que tendremos que agregar a las racionales búsquedas de la estructura del universo nuestras emociones porque, si mal no he entendido, en los cálculos cuánticos hay que tener en cuenta, además del objeto, el sujeto, o sea nosotros y nuestras emociones. Es vertiginoso todo esto, Frabetti. Y qué decir de la “belleza”(¿) que encuentran los matemáticos en las grandiosas fórmulas como la de Newton y la de Einstein llenas de sugestiones abismales. Como anécdota le confieso que cuando tomé contacto por primera vez con las matemáticas supuse que la banalidad de decir que, “si A es igual a B, y B es igual a C, entonces C es igual A” no era otra cosa que una excusa, una trampa, una mentirilla para prevenir a todos los niños, y especialmente a las niñas, cándidas e ingenuas de lo que vendría después. Y creo que no me equivoque. Gracias otra vez.

    • Ni confuso, ni confusional, ni exagerado, caro Eduardo. No más que mis artículos, en los que a menudo salto de un tema a otro sin detallar suficientemente los pasos intermedios, en parte por falta de espacio y de tiempo, y en parte por mis propias limitaciones personales. Pero esa es la diferencia entre escribir -o leer- un artículo y demostrar -o entender- un teorema. Yo no prtendo demostrar nada, solo mostrar y sugerir, y me siento muy reconfortado y agradecido cada vez que alguien acoge con interés mis divagaciones y las prolonga con las suyas

  4. Lo mismo, pero a una escala mucho mayor aún. Si la combinatoria de las 32 piezas del ajedrez sobre un tablero de 8 x 8 da lugar a septillones de posibilidades, imagínate (mejor dicho, ni lo intentes) a qué puede dar lugar la combinatoria de 86.000 millones de neuronas.

    • No es en el número de neuronas, ni de axones, ni de dendritas, ni de conexiones entre todos los elementos del sistema nervioso el lugar donde reside la capacidad de la mente. Cuatriplíquelos en un ordenador, y todas sus combinaciones no bastarán para alcanzar los sitios donde llega la mente humana. Parafraseando a Gödel, o las matemáticas son muy pequeñas, o la mente es muy grande.

      • ¿Y dónde reside entonces la capacidad de la mente? Es cierto que en un ordenador convencional, por grande que sea, no caben todas las funciones de la mente; pero eso solo significa que el cerebro es más complejo que un ordenador algorítmico. Según Penrose y otros, esa complejidad está relacionada con algunos aspectos de la mecánica cuántica que aún no conocemos del todo. Tal vez, o tal vez sea otra cosa; pero no hay ninguna razón para buscar esa otra cosa fuera del enjambre neuronal. Y, sí, aunque jueguen con el infinito, las matemáticas son muy pequeñas comparadas con la mente.

  5. Si Eva se refiere a la interdependencia entre objeto estudiado y sujeto investigador, sería espeluznante pensar que se pueda interferir, aunque sea en manera pasiva, en la mente altrui o en el clima.

    • Bueno, de hecho estamos interfiriendo -y de una manera nada pasiva- en el clima. No podemos comprenderlo en toda su complejidad, pero podemos destruirlo. Y lo mismo se puede decir de la mente.

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