La campana de Dios es un operador hermítico

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En 1972, durante una de esas pausas para el té —se llama así aunque toman café— que en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton no interrumpen nada sino que estimulan una forma más tenue de pensamiento, dos hombres se encontraron detenidos en un silencio que en ese instante no significaba nada y que, sin embargo, más tarde adquiriría la densidad de lo irrepetible; uno de ellos, Hugh Montgomery, matemático británico, llevaba meses girando en torno a una pregunta cuya modestia era solo aparente, la de esos números primos, 2, 3, 5, 7, 11, 13…, que surgen entre los naturales con una irregularidad que no es desorden pero tampoco orden, una especie de coherencia esquiva que nadie ha logrado todavía traducir en una ley que permita anticipar el lugar donde aparecerá el siguiente. Lo que Montgomery tenía no era una respuesta sobre dónde aparecería el próximo primo sino algo más extraño: una propuesta sobre el ritmo interno de ese aparente desorden, una conjetura que afirmaba que, si uno dejaba de mirar los primos directamente y atendía a la estructura que los gobierna —los ceros de la función de Riemann—, las distancias entre esos ceros no eran arbitrarias, sino que seguían una ley precisa, y que ese orden secreto se reflejaba en cómo se reparten los primos.

El otro hombre era Freeman Dyson, una figura ya casi legendaria en la física del siglo XX, con esa clase de mente que conecta cosas antes de que el cerebro consciente haya terminado de procesar la información. Montgomery le explicó su fórmula, ese ritmo que gobernaba las distancias entre los números primos. Dyson lo escuchó y dijo, con una calma que debió de resultar desconcertante: esto lo conozco. No lo dijo como curiosidad académica. Era reconocimiento genuino, como cuando alguien ve en un contexto completamente inesperado la cara de un viejo conocido. Porque Dyson, además de mostrarse escéptico con el universo inflacionario, había trabajado durante años en cómo se organizan los niveles de energía en los núcleos atómicos, esos valores específicos que un sistema puede adoptar y que condicionan su comportamiento, la forma en que emite radiación y la manera en que interactúa con otros sistemas. Y el ritmo estadístico que describía los saltos entre esos niveles de energía era, en esencia, el mismo —la misma ley de correlación, la misma cadencia numérica— que Montgomery acababa de encontrar en la disposición de los ceros de la función que controla a los números primos.

Los dos se quedaron callados.

No había ninguna razón para que aquello fuera así. Los números primos son una abstracción pura, el territorio más conceptual y alejado de la realidad física que existe. Los núcleos atómicos son materia, energía, naturaleza en su forma más concreta. Son mundos que no se hablan, que no se conocen, que no tienen ningún motivo para compartir nada. Y sin embargo compartían ese ritmo, esa cadencia, ese patrón en las distancias. Nadie supo qué hacer con eso. Se publicó, se comentó, se archivó en esa categoría mental que los científicos reservan para las coincidencias que no entienden pero que tampoco pueden ignorar. Y la tarde de té en Princeton quedó flotando en la memoria colectiva de la física y las matemáticas como uno de esos momentos en que el universo parece soltar un detalle de más, como si se hubiera descuidado.

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Para entender por qué esa tarde importa hay que retroceder medio siglo, a una intuición que dos matemáticos tuvieron de forma independiente y que nunca llegó a cristalizar en un artículo formal, quizá porque era demasiado especulativa, quizá porque vivió sobre todo en seminarios, notas al margen y conversaciones entre colegas. David Hilbert y George Pólya llegaron por caminos distintos a la misma sospecha. Los números primos, pensaron, no están distribuidos al azar. Hay algo que los organiza, algún mecanismo oculto que decide dónde va cada uno. Y ese mecanismo, fuera lo que fuera, se parecía sospechosamente a los mecanismos que gobiernan las vibraciones.

Cuando una campana suena, no produce todas las frecuencias posibles sino solo algunas, las que su forma y su material permiten. Esas frecuencias están determinadas por la estructura física de la campana, y son siempre valores concretos y reales, nunca abstracciones. La campana no puede vibrar en una frecuencia imaginaria porque la naturaleza no funciona así. Lo que se puede medir, lo que produce un sonido real en el aire, tiene que ser real. Hilbert y Pólya sospecharon que los números primos eran las frecuencias de alguna campana desconocida. Que había algún objeto, quizás físico, quizás matemático, quizás algo para lo que no existía todavía ni siquiera una categoría, cuyas vibraciones naturales producían exactamente el ritmo de los primos. Y si ese objeto existía, si tenía la estructura adecuada, entonces el hecho de que esas frecuencias fueran reales y estuvieran perfectamente ordenadas no necesitaría demostración. Sería tan evidente como el hecho de que una campana no puede mentir sobre su propio sonido.

En matemáticas, ese objeto hipotético tiene un nombre técnico: operador hermítico. Es una construcción algebraica con una propiedad que lo hace especial entre los objetos matemáticos posibles, y es que sus valores, sus frecuencias, son siempre y necesariamente reales. No puede producir fantasmas. No puede generar abstracciones sin peso. Todo lo que emana de él aterriza en la recta de los números concretos, medibles, reales. Es, en ese sentido, el objeto matemático más honesto que existe. Y lo que hoy se conoce como conjetura de Hilbert–Pólya es precisamente eso: la idea de que detrás de los números primos hay un operador hermítico, un objeto cuya mera existencia, si se demostrara, probaría de un golpe que los primos están donde tienen que estar porque no pueden estar en ningún otro sitio.

No encontraron ese objeto. La intuición quedó suspendida en el aire durante décadas, sin cuerpo, sin demostración, sin más sustancia que su propia elegancia.

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Y entonces llegó la tarde de Princeton, y Dyson reconoció el ritmo, y la conjetura de Hilbert y Pólya recibió de golpe una confirmación oblicua y perturbadora. Porque si el ritmo de los primos era el mismo que el ritmo de los niveles de energía atómica, entonces la campana que los dos matemáticos habían intuido quizás no era una metáfora. Quizás era literalmente un sistema físico. Quizás el universo, al organizar la energía de sus átomos, estaba usando el mismo principio con el que organiza los números primos. Quizás la aritmética y la física no eran dos territorios distintos sino dos formas de mirar la misma cosa.

Desde entonces los físicos han profundizado en esa dirección. Los sistemas que mejor reproducen el patrón son los caóticos, aquellos cuyo comportamiento es impredecible en los detalles, pero estadísticamente ordenado en el conjunto, como el humo de un cigarrillo que asciende en espirales imposibles de predecir pero que siempre sube, siempre se dispersa, siempre sigue las mismas leyes estadísticas. Y el patrón de los primos encaja en ese tipo de caos con una precisión que sigue sin tener explicación.

La campana existe. O algo existe que suena exactamente como sonaría esa campana. Sus vibraciones atraviesan la aritmética y la física sin distinguir entre ellas, como si esa distinción fuera un problema nuestro y no suyo. Y ese algo, en el lenguaje frío y preciso de las matemáticas, se llama operador hermítico. En el lenguaje de todo lo demás se llama de otra manera, una que los físicos no escriben en sus papers pero que a veces se les escapa en voz baja cuando llevan demasiadas horas mirando las ecuaciones y la coincidencia entre los primos y los átomos vuelve a aparecer, puntual e inexplicable.

Nadie ha visto todavía ese operador. Pero sus huellas son demasiado persistentes para ser una ilusión, y su ausencia ya no parece la de algo inexistente, sino la de algo que aún no hemos aprendido a mirar. Quizás porque esa campana no pertenece a ningún laboratorio ni a ningún formalismo conocido, sino a un nivel más profundo de la realidad, donde los números y la energía dejan de ser categorías separadas y revelan una misma estructura. El universo no es un conjunto de dominios, sino una continuidad que se expresa de formas distintas, y esa continuidad no se oye como un sonido, sino que se reconoce como coherencia.

Los números primos son una de sus manifestaciones. Los átomos, otra.

Y entre ambas, sin nombre todavía, está aquello que las hace posibles.

Nota del autor: este texto está dedicado al matemático y humanista Alberto Márquez que le gusta que aparezcan en los medios de comunicación artículos de matemáticas.