Juan José Gómez Cadenas: El maldito logaritmo

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En el último post planteamos un modelo de cohete, Orión, que podía llevarnos a los confines del sistema solar, o puede que a las estrellas más cercanas, a golpe de cañonazos nucleares —aunque mi amigo Rogelio me ha convencido que esos cañonazos en realidad no hacen otra cosa que levantar un viento de plasma que mueve la nave—. La idea de Orión puede mejorarse (en realidad se concibió casi como una caricatura) y lo haremos en breve, pero antes, las malas noticias. Hoy tengo que hablar del logaritmo, el maldito logaritmo.

Habrá observado el atento lector que hace tiempo que no escribo fórmulas. No es por casualidad ni por desidia, sino causa de la estricta dieta a la que me somete la Dirección. En esta entrega, sin embargo, propongo que escribamos la famosa ecuación de Tsiolkovsky o ecuación del cohete:

Donde:

1. \Delta \upsilon es la velocidad que gana un cohete…

2. que escupe el combustible por la tobera con una velocidad \upsilon _{e}

3. y tiene una masa total m0, que incluye la masa de la nave, los pasajeros, el cargo y la masa del combustible, antes de arrancar…

4. y una masa final m1, que incluye la masa de la nave, los pasajeros, el cargo y la masa del combustible que no haya gastado.

El maldito logaritmo: (a) arriba, el cociente entre la velocidad de la nave y la velocidad de combustión en función del cociente (aproximado) entre la masa de combustible y la masa de la nave, si la ecuación del cohete fuera lineal. Abajo, la dura realidad. La ecuación es logarítmica, lo que quiere decir que se gana mucho menos con la masa del combustible.

La velocidad máxima que puede alcanzar el cohete es proporcional a \Delta \upsilon que a su vez es proporcional a \upsilon _{e}. Hasta aquí las buenas noticias. Las malas noticas están en el logaritmo. Si no fuera por el fatídico logaritmo, los viajes espaciales no serían tan difíciles. Para dejarlo claro, imaginemos por un momento que la f órmula del cohete no contiene el logaritmo. Esto es:

Lo primero que necesitamos es un cohete con ve muy alta. Ya conocemos uno, de hecho, ORION, o alguna de sus variantes menos drásticas (como Dedalus), podría alcanzar razonablemente una ve de 300 000 m/s. Si queremos que \Delta \upsilon sea, digamos, un décimo de la velocidad de la luz es (30 000 km/s o 30 000 000 m/s), necesitamos multiplicar \upsilon _{e} por un factor 100, que en la fórmula anterior podemos sacar del cociente m0/m1. La masa final de la nave (m1), nos la podemos imaginar como la masa una vez que nos hemos gastado el combustible, así que necesitaríamos que la masa de la nave más la masa de combustible (m0) fueran 100 veces más grandes que la masa final de la nave. Aproximando. Con un motor concebible en términos de nuestra tecnología y una masa de combustible aproximadamente 100 veces mayor que la de la nave podríamos acelerar, hasta velocidades del 10% de la luz.

Ah, pero al llegar a nuestro destino no nos queda más remedio que desacelerar, así que tenemos que prever bastante combustible para acelerar y para desacelerar, lo que significa que la masa del combustible inicial no es 100 veces sino 100 x 100 = 10 000 veces la de la nave! Entonces, si nuestra nave (más pasajeros) pesa unas modestas 4 000 toneladas necesitamos cuarenta millones de toneladas de combustible. Por supuesto, una vez que lleguemos a la estrella que queremos visitar, o bien nos quedamos allí, o bien somos capaces de repostar en su sistema solar, ya que si necesitamos llevarnos el combustible para un viaje de ida y vuelta (dos aceleraciones y dos desaceleraciones), necesitamos 100 x 100 x 100 x 100 = 10 000 000 veces la masa de la nave y las cosas se ponen francamente difíciles.

Ah, pero eso no es todo, porque la fórmula del cohete contiene un logaritmo y si m0/m1 = 10^{^{4}}, log\ m0/m1 \sim 9. El logaritmo acaba con toda esperanza de ganar el pulso por fuerza bruta.

La única forma de escaparnos de su tiranía es encontrar sistemas en los que la velocidad de escape sea altísima. Por ejemplo, la Enterprise, usando sus famosos cristales de dilitio se mueve por aniquilación directa de materia y antimateria. En este caso ve puede llegar a ser del orden del 10% de la velocidad de la luz y por tanto la masa de combustible “sólo” necesita ser del orden de la masa de la nave para acelerar o bien de su cuadrado para acelerar y desacelerar. De vuelta a nuestro ejemplo, necesitaríamos 16 000 toneladas combustible (8 000 toneladas de antimateria) para un viaje de ida y vuelta al 10% de c. El problema, claro estáes dónde encontrar esas 8 000 toneladas, ya que los cristales de dilitio son tan mágicos como la varita de Harry Potter.

Lo cual nos lleva a una conclusión bastante simple. O bien perfeccionamos el motor de materia-antimateria (algo muy lejano de nuestra tecnología actual pero no inconcebible) y encontramos una fuente de antimateria (que no parece existir en grandes cantidades en el universo), o bien aprendemos a sintetizarla industrialmente (una posibilidad a ún más remota desde el punto de vista tecnológico) o bien…

O bien, si el problema es el combustible, ¿por qué no pasar de él? ¿Podemos viajar a vela en el cosmos? ¿O a remos?

Difícil, pero no imposible, como veremos.

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