La fórmula de Euler
El famoso físico Richard Feynman tenía escrita en su pizarra del Caltech una frase que se hizo famosa a la mañana siguiente de su muerte: «Lo que no puedo crear, no lo entiendo». A veces, para entender el universo, hay que imaginar cómo sería uno diferente. Y para imaginar un universo diferente, que es de lo que va este artículo voy a comenzar hablando de mi fórmula favorita, una fórmula que es poesía.
En 1748, Leonhard Euler publicó una identidad que conectaba cinco números fundamentales en una sola expresión: eiπ + 1 = 0. El número e, base del crecimiento natural. El número π, razón entre la circunferencia y su diámetro. La unidad imaginaria i, que no es más que la raíz cuadrada de menos uno. El uno. El cero. Cinco constantes de campos distintos de las matemáticas, unidas por tres operaciones —suma, multiplicación, exponenciación— en una ecuación sin coeficientes ni adornos.
La fórmula es un caso particular de algo más general: eiθ = cos(θ) + i·sen(θ). La ecuación expresa algo concreto y, al mismo tiempo, profundamente contraintuitivo: que la función exponencial, que en el mundo real asociamos con el crecimiento ilimitado —poblaciones que se multiplican, intereses bancarios que se acumulan, reacciones que se aceleran—, cambia por completo de naturaleza cuando se aplica al plano complejo. En lugar de crecer sin freno, se repliega sobre sí misma y empieza a girar, describiendo un movimiento circular perfectamente ordenado. Lo que antes era expansión se convierte en rotación; lo que parecía una tendencia a infinito pasa a ser un ciclo que se repite. En ese giro hay algo más que una curiosidad formal: es la señal de que dos comportamientos que creemos distintos —crecer y oscilar— no son tan ajenos, sino expresiones diferentes de una misma estructura matemática.
El plano complejo
En 1799 un cartógrafo noruego llamado Caspar Wessel publicó un artículo que nadie leyó, y en 1806 un contable ginebrino llamado Jean-Robert Argand publicó otro que casi nadie leyó. Ambos decían lo mismo: si los números reales son una línea horizontal, los números imaginarios pueden ser una línea vertical, y juntos forman un plano. Cada punto de ese plano es un número complejo a + bi: la parte real marca la posición horizontal, la imaginaria la vertical.
La clave está en la interpretación de lo que significa multiplicar en ese plano. Multiplicar por un número real positivo estira. Multiplicar por uno negativo estira y da la vuelta. Pero multiplicar por i hace algo inesperado: rota 90 grados. Tomemos el número 1, que está en el eje real positivo. Multiplicamos por i: obtenemos i, que está arriba, en el eje imaginario. Multiplicamos otra vez por i: obtenemos i² = −1, a la izquierda. Otra vez: −i, abajo. Otra vez: volvemos a 1. Cuatro giros de 90 grados, una vuelta completa. El número i no es una abstracción mística: es una rotación de un cuarto de vuelta.
Entonces e(iθ) es un punto que se desplaza por el círculo unitario del plano complejo a medida que θ avanza. Cuando θ llega a π —media vuelta—, el punto está en −1. Por eso e(iπ) = −1. No hay magia: hay geometría. He creado este gráfico parametrizable para que el lector pueda hacer una exploración intereractiva del plano complejo, lo que ayuda a visibilizar mejor qué significa realmente «multiplicar» en ese espacio: no solo como una operación abstracta, sino como un movimiento visible, casi físico, donde cada número deja de ser una cifra y se convierte en una acción sobre el plano. Al variar θ, el punto recorre la circunferencia con una regularidad hipnótica, y lo que antes era una fórmula opaca se transforma en una trayectoria que puede seguirse con la mirada.
La onda y el círculo son sombras de la misma hélice vista desde ángulos distintos.
Esa unificación —crecimiento y rotación como dos caras de la misma moneda— es la razón por la que los números complejos aparecen en todas partes en física. Las ondas electromagnéticas, las funciones de onda cuánticas, las señales eléctricas en un circuito: todos esos fenómenos combinan magnitud y fase, y el plano complejo es el lenguaje mínimo que captura ambas cosas a la vez.
Hamilton
Una vez entendida la «realidad física» de los números complejos podemos preguntarnos que si estos permiten rotar en un plano, ¿se podría extender el concepto para rotar en el espacio tridimensional? William Rowan Hamilton, el matemático irlandés más importante de su siglo, se obsesionó con esta pregunta durante más de una década. Quería construir «tripletes» —números de la forma a + bi + cj— que hicieran con tres dimensiones lo que los complejos hacían con dos.
No podía. Cada vez que intentaba definir la multiplicación de esos tripletes, las reglas algebraicas se contradecían. Hasta que el 16 de octubre de 1843, caminando con su esposa Helen por el Brougham Bridge de Dublín, tuvo una revelación: necesitaba no dos sino tres unidades imaginarias, y por tanto cuatro componentes. Los cuaterniones: a + bi + cj + dk. Y lo más interesante es que para que funcionaran se tenía que sacrificar la propiedad conmutativa, esa que en el colegio nos enseñaba que el orden de los factores no altera el producto. Por lo tanto, en los cuaterniones, i·j = k, pero j·i = −k. El orden importa. Hamilton estaba tan exaltado que se detuvo y grabó la fórmula i² = j² = k² = ijk = −1 directamente en la piedra del puente. Hoy hay una placa conmemorativa en ese lugar.
Esa no conmutatividad no era un defecto. Era una propiedad del mundo real. Hagan el siguiente experimento: coja un libro o su smartphone y gírelo 90 grados a la derecha, luego 90 hacia arriba. Ahora repita las mismas rotaciones en orden inverso —arriba, derecha—. El resultado es completamente diferente. Las rotaciones en tres dimensiones no conmutan, y los cuaterniones capturan eso con exactitud. La generalización de la fórmula de Euler a los cuaterniones es elegante: e(θû) = cos(θ) + û·sen(θ), donde û es cualquier dirección imaginaria unitaria. Ya no hay un solo plano de rotación: hay una esfera entera de planos posibles, uno por cada eje en el espacio.
¿Y después de los cuaterniones? Existe un paso más: los octoniones, con ocho componentes, donde se pierde también la asociatividad —es decir, (a·b)·c ya no es igual que a·(b·c)—. Y ahí se acabó. Un teorema demostrado por Adolf Hurwitz en 1898 establece que solo existen cuatro álgebras de división con norma: los reales (dimensión 1), los complejos (dimensión 2), los cuaterniones (dimensión 4) y los octoniones (dimensión 8). No hay nada en dimensión 3, ni en 5, ni en 16. La matemática pura no hace concesiones. Imaginemos ahora un universo donde los cuaterniones fueran conmutativos. Donde girar a la derecha y luego hacia arriba diera exactamente lo mismo que girar hacia arriba y luego a la derecha. ¿Qué cambiaría? Todo.
Si las rotaciones conmutaran
Para empezar, el espacio tridimensional dejaría de ser un espacio entrelazado para convertirse en tres líneas independientes pegadas juntas. Un giroscopio no funcionaría. Una peonza no precesaría. Una bicicleta no se mantendría en pie como lo hace en nuestro mundo. .
Pero las consecuencias cuánticas serían mucho más devastadoras. En mecánica cuántica, que dos operadores no conmuten significa que no se pueden medir simultáneamente. El principio de incertidumbre de Heisenberg —no puedes conocer a la vez la posición exacta y la velocidad exacta de una partícula— es consecuencia directa de que los operadores de posición y momento no conmutan. Sin no conmutatividad, no habría incertidumbre cuántica. Cada partícula tendría todas sus propiedades perfectamente definidas en todo momento. Albert Einstein habría ganado su debate con Niels Bohr; Dios, efectivamente, no jugaría a los dados.
Sin la estructura del grupo SU(2) —el catálogo de giros cuánticos que fija todas las maneras posibles en que una partícula puede “darse la vuelta”—, que es no conmutativo, no existirían las partículas de espín semientero: electrones, quarks, neutrinos. No habría distinción entre fermiones y bosones. Y sin esa distinción, no habría principio de exclusión de Wolfgang Pauli, que es lo que impide que todos los electrones de un átomo colapsen al mismo nivel de energía. Sin Pauli no hay tabla periódica. Sin tabla periódica no hay química. Sin química no hay moléculas, ni agua, ni proteínas, ni ADN.
Las fuerzas fundamentales también se desmoronarían. La fuerza nuclear fuerte, que mantiene unidos a los quarks dentro de protones y neutrones, está descrita por el grupo SU(3) —el sistema de reglas que dicta cómo pueden “engancharse” y “retorcerse” entre sí las cargas de color de quarks y gluones—, que es no conmutativo. Esa no conmutatividad es lo que hace que los gluones —las partículas portadoras de esa fuerza— interactúen entre sí, generando el confinamiento: la fuerza entre quarks no disminuye con la distancia, sino que aumenta, como una goma elástica que nunca se rompe. En un universo conmutativo, los gluones no se acoplarían entre sí. Los quarks andarían libres. No habría protones, ni neutrones, ni núcleos atómicos.
De las cuatro fuerzas fundamentales, solo sobreviviría intacto el electromagnetismo, cuyo grupo de simetría, U(1) —la simetría simple de fase que gobierna el electromagnetismo—, ya es conmutativo. Tendríamos un universo con fotones y gravedad, y poco más. Una sopa de luz en un espacio sin estructura interna, sin materia estable, sin la complejidad necesaria para que existiera alguien capaz de preguntarse por qué. La no conmutatividad no es un inconveniente algebraico que Hamilton tuvo que aceptar para las ecuaciones «funcionasen». Es la condición mínima para que exista un universo interesante.
Cuando Hamilton grabó su fórmula en la piedra del Brougham Bridge, no sabía que estaba tallando una de las condiciones de posibilidad de la existencia. Que i·j no sea igual que j·i no es una curiosidad para matemáticos: es la razón por la que las cosas pueden ser diferentes según el orden en que ocurren, y por extensión, la razón por la que el tiempo tiene una dirección, la materia tiene estructura y el universo tiene la complejidad suficiente para mirarse a sí mismo y hacerse preguntas.
