De la fórmula más bella de las matemáticas a la razón por la que el orden de las cosas importa (o por qué el universo existe gracias a la no conmutatividad de los cuaterniones)

La fórmula de Euler

El famoso físico Richard Feynman tenía escrita en su pizarra del Caltech una frase que se hizo famosa a la mañana siguiente de su muerte: «Lo que no puedo crear, no lo entiendo». A veces, para entender el universo, hay que imaginar cómo sería uno diferente. Y para imaginar un universo diferente, que es de lo que va este artículo voy a comenzar hablando de mi fórmula favorita, una fórmula que es poesía.

En 1748, Leonhard Euler publicó una identidad que conectaba cinco números fundamentales en una sola expresión: e^iπ + 1 = 0. El número e, base del crecimiento natural. El número π, razón entre la circunferencia y su diámetro. La unidad imaginaria i, que no es más que la raíz cuadrada de menos uno. El uno. El cero. Cinco constantes de campos distintos de las matemáticas, unidas por tres operaciones —suma, multiplicación, exponenciación— en una ecuación sin coeficientes ni adornos.

La fórmula es un caso particular de algo más general: e^iθ = cos(θ) + i·sen(θ). La ecuación expresa algo concreto y, al mismo tiempo, profundamente contraintuitivo: que la función exponencial, que en el mundo real asociamos con el crecimiento ilimitado —poblaciones que se multiplican, intereses bancarios que se acumulan, reacciones que se aceleran—, cambia por completo de naturaleza cuando se aplica al plano complejo. En lugar de crecer sin freno, se repliega sobre sí misma y empieza a girar, describiendo un movimiento circular perfectamente ordenado. Lo que antes era expansión se convierte en rotación; lo que parecía una tendencia a infinito pasa a ser un ciclo que se repite. En ese giro hay algo más que una curiosidad formal: es la señal de que dos comportamientos que creemos distintos —crecer y oscilar— no son tan ajenos, sino expresiones diferentes de una misma estructura matemática.

El plano complejo

En 1799 un cartógrafo noruego llamado Caspar Wessel publicó un artículo que nadie leyó, y en 1806 un contable ginebrino llamado Jean-Robert Argand publicó otro que casi nadie leyó. Ambos decían lo mismo: si los números reales son una línea horizontal, los números imaginarios pueden ser una línea vertical, y juntos forman un plano. Cada punto de ese plano es un número complejo a + bi: la parte real marca la posición horizontal, la imaginaria la vertical.