El placer estético que proporcionan algunas definiciones matemáticas rivaliza con las de un buen poema, con una novela espléndida, o con un cuadro abstracto. Una de mis definiciones preferidas en esa línea es el concepto de límite de Cauchy.
Durante siglos, los matemáticos fracasaron en su búsqueda de una buena definición de límite. La noción abstracta, la cualitativa, es sencilla de entender. Es algo a lo que te acercas sin llegar nunca a alcanzarlo. Pero convertir eso en una herramienta práctica, algo con lo que se pueda hacer cuentas y resolver problemas complicados sin llegar a contradicciones lógicas, no es tan fácil. Los griegos, de hecho, nunca lo consiguieron. Se enredaron en paradojas como la de Zenón, aquello de que Aquiles nunca podrá alcanzar a la tortuga que avanza delante de él porque cuando llegue donde está ahora la tortuga ella ya se habrá movido un tanto (poco, pero algo), y cuando llegue a ese nuevo lugar, lo mismo y así hasta el infinito. El pobre Aristóteles fue rehén de la falta de herramientas adecuadas y su Física se resiente.
Definir lo que es un límite con el rigor necesario, es decir, de una forma precisa, que no dé lugar a contradicciones y útil, llevó siglos a los matemáticos. En primer lugar, tuvieron que descubrir (o inventar; en esto hay opiniones divididas) los diferentes tipos de números. Los naturales son inmediatos; salvo el cero, que es una abstracción poderosa no al alcance de cualquier mente. De hecho, tuvimos que llegar a los números arábigos (es decir, a los números hindúes), para disponer de una herramienta que nos permite hacer cosas que con los números romanos, griegos o sumerios resultarían muy enojosas. Los números enteros parecen también evidentes, pero también son una abstracción. La idea de disponer de una cantidad negativa de algo es útil y sutil, pero ilógica. Un filósofo escolástico de pro hubiera razonado que no se puede hablar de un número negativo de manzanas porque no existen manzanas negativas; sería algo equivalente a hacer equivaler el no-ser al ser, lo cual es lógicamente contradictorio. Naturalmente hoy hemos superado la escolástica (bueno, no todos la han superado; hay facultades de letras repletas de gente que no) y el sistema numérico no se define según la lógica aristotélica, sino a través de un sistema axiomático. No nos rechinan los números negativos porque hemos convenido que tener tres manzanas negativas en la cuenta de la frutería equivale a deberle tres manzanas al tendero, pero a poco que se piense, el concepto es esquivo. Trabajar con algo que no tiene existencia posible en el mundo real para hacer operaciones entre bambalinas que al cabo de unos pasos nos devuelven a lo medible resulta incómodo para la razón, y esto no solo para los escolásticos.
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Como matemático, he disfrutado mucho del artículo. Ciertamente, la noción de límite cuesta al inicio, pero como muchos conceptos matemáticos, entenderla produce una epifanía, una iluminación.
No conocía el rechazo a los números negativos, he visto la historia y es muy interesante.
Yo soy física y me ha divertido mucho leer esto. Me hacen gracia las bombas que va soltando así como que no quiere la cosa. Métase con algo de frente, hombre. Atrévase, que hay material. No se corte.
Si a mí me hubieran explicado esto así en el instituto a lo mejor lo hubiera entendido. Tiene razón el autor de que se explicaba de una forma que no entendías nada y que te hacía sentir estúpida. Por lo menos a mí me pasó. Me fui por letras. Un error.
Estupendo artículo, aunque en mi humilde opinión dudo mucho que la definición de límite se le «ocurriese» al Sr. Augustin Louis… Que ya era famoso en su época por «extraviar» los trabajos de investigación de los incautos colegas que le confiaban su revisión… Y si no que le pregunten al malogrado Galois. Cuantas veces se habrá revuelto en su tumba!
Qué buen artículo, sin límites para la curiosos. Claro y llevadero que toca berretines de juventud. No hubo ni hay días en los que no me pase dividiendo ideales partículas sub atómicas. Siempre en la jornada hay momentos propicios para hacer de una dos, para avanzar lo que empecé en el dia anterior; y ya van años. El límite no lo encontré como es consabido pero la operación continúa, y comienzo a sospechar que el límite somos nosotros. Es dificil aceptarlo pues no queda otra que la subdivisión sin llegar jamás a cero, y esto me lleva a intuir que no hubo creación, que el y los universos estuvieron y estarán siempre, que el único atributo divino es la eternidad, sin principio ni fin, y esto es más que horrendo. Por eso las religiones con demiurgos son más consoladoras, más a la mano, más proletarias. Solo me basta mirar a mi alrededor: ¿ladrillos?, el polvo de ladrillos. El de las estrellas no pues entra en el plano religioso, pero me parece que el prosaico y antiestético polvo sobre los muebles es el mismo. Tan sutil él. Animales, insectos e ideas, conejos, hormigas, pensamientos con sus proliferaciones. (Una cosa llama a la otra. Mejor me pare aquí. Espero entienda). Fue traumático el aprendizaje de las matemáticas, y creo que los que enseñan esta materia, que generalmente son siempre… peculiares o exóticos, tendrían que tratar de entender que matemáticos hay pocos y alumnos muchos; calidad y cantidad, elegidos y no. Todavia es un problema para mi resolver una ecuación de tres compuesta. Sin embargo, y para mi incredulildad, pude entender el razonamiento lógico que lleva a construir un derivada, mediante un viejo libro de Calculo diferencial e integral, que tenia la virtud de presentar el problema en forma amena, clara, con paciencia, paso a paso, hasta con un punto de humor; como su excelente artículo. Todo lo mejor para usted.
Gracias por el artículo. Me lo he pasado bien recordando varios conceptos.
Pequeña corrección: falta un +1 en la sucesión de e (empieza en n = 0)
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Muy bien artículo.
El artículo me parece magnifico, divertido, motivante… solo le encuentro un pero, cuando dice «cualquiera que haya completado un bachillerato de ciencias sabe más sobre el mundo que todos los filósofos clásicos juntos. La educación moderna, además de desasnar al personal y socializarlo, tiene esa ventaja. »
Como mucho, podríamos decir que «cualquiera que haya completado un bachillerato de ciencias ha estudiado mas cosas que todos los filósofos clásicos juntos». Porque lo de saber es discutible (no nos olvidemos de que forma penosa manejan las matemáticas muchos bachilleres… incluidos muchos de ciencias)… y sobre desasnar y socializar, pues no hay más que echar un vistazo a la situación actual para concluir que la educación «pragmática» y «con medición de calidad» no ha tenido mucho impacto en la capacidad de autocrítica, análisis ni reflexión de la realidad.
Muy buen artículo, pero habiendo conocido a muchos físicos/as y matemáticas/os no puedo evitar recordar la famosa «metáfora»:»La producción de leche en una granja lechera era baja, por lo que el agricultor escribió a la universidad local, pidiendo ayuda de la academia. Se reunió un equipo multidisciplinario de profesores, dirigido por un físico teórico, y se llevaron a cabo dos semanas de investigación intensiva in situ. Los académicos regresaron a la universidad, cuadernos llenos de datos, donde la tarea de escribir el informe se dejó al líder del equipo. Poco después, el físico regresó a la granja, diciendo al agricultor: «Tengo la solución, pero sólo funciona en el caso de vacas esféricas en vacío».»
«Lo digo a menudo, pero es bueno insistir: cualquiera que haya completado un bachillerato de ciencias sabe más sobre el mundo que todos los filósofos clásicos juntos.»
Para saber si tu proposición es cierta, deberías definir antes los conceptos de «saber» y de «mundo». Para mí cualquier viejo de 80 años sin bachillerato de ciencias sabe más sobre el mundo que cualquier joven de 18 años con bachillerato de ciencias.
Se entiende que mundo aquí es la naturaleza: saber cómo caen los cuerpos, que la materia está formada por átomos, que la energía se conserva, que hay galaxias y cúmulos de galaxias, que hay virus, las leyes de la genética, el ADN, qué son las estrellas, cómo funcionan, que hay planetas alrededor de otras estrellas, que toda la materia está formada por ciento y pico elementos químicos, por qué hay que lavarse las manos antes de comer, que el aire pesa, por qué se forman las nubes, por qué llueve, qué es el granizo, que los continentes una vez estuvieron juntos, por qué se producen los terremotos o cómo se hacen los niños, por poner algunos ejemplos.
Puede que hayan tenido que estudiar esos hechos, repetirlos de memoria o incluso usarlos en actividades de «tipo práctico»… pero cuando luego esos mismos bachilleres se comportan sin actuar, en su vida diaria, como si esos hechos fueran ciertos (y nos sobran los ejemplos) … ¿podemos decir que saben algo? Lo dudo
Muy buen artículo, muchas gracias. Solo una pequeña duda, ¿No deberíamos llamarles números indios?
Ese es su origen, sí; pero tradicionalmente se les llama arábigos. Pasa igual con el término ‘Las indias’ para el Caribe o, antes, para toda América. Nada que ver un continente con otro, pero por razones históricas se usa ese término incluso en inglés (West Indies).