La estética de Cauchy

El placer estético que proporcionan algunas definiciones matemáticas rivaliza con las de un buen poema, con una novela espléndida, o con un cuadro abstracto. Una de mis definiciones preferidas en esa línea es el concepto de límite de Cauchy. 

Durante siglos, los matemáticos fracasaron en su búsqueda de una buena definición de límite. La noción abstracta, la cualitativa, es sencilla de entender. Es algo a lo que te acercas sin llegar nunca a alcanzarlo. Pero convertir eso en una herramienta práctica, algo con lo que se pueda hacer cuentas y resolver problemas complicados sin llegar a contradicciones lógicas, no es tan fácil. Los griegos, de hecho, nunca lo consiguieron. Se enredaron en paradojas como la de Zenón, aquello de que Aquiles nunca podrá alcanzar a la tortuga que avanza delante de él porque cuando llegue donde está ahora la tortuga ella ya se habrá movido un tanto (poco, pero algo), y cuando llegue a ese nuevo lugar, lo mismo y así hasta el infinito. El pobre Aristóteles fue rehén de la falta de herramientas adecuadas y su Física se resiente. 

Definir lo que es un límite con el rigor necesario, es decir, de una forma precisa, que no dé lugar a contradicciones y útil, llevó siglos a los matemáticos. En primer lugar, tuvieron que descubrir (o inventar; en esto hay opiniones divididas) los diferentes tipos de números. Los naturales son inmediatos; salvo el cero, que es una abstracción poderosa no al alcance de cualquier mente. De hecho, tuvimos que llegar a los números arábigos (es decir, a los números hindúes), para disponer de una herramienta que nos permite hacer cosas que con los números romanos, griegos o sumerios resultarían muy enojosas. Los números enteros parecen también evidentes, pero también son una abstracción. La idea de disponer de una cantidad negativa de algo es útil y sutil, pero ilógica. Un filósofo escolástico de pro hubiera razonado que no se puede hablar de un número negativo de manzanas porque no existen manzanas negativas; sería algo equivalente a hacer equivaler el no-ser al ser, lo cual es lógicamente contradictorio. Naturalmente hoy hemos superado la escolástica (bueno, no todos la han superado; hay facultades de letras repletas de gente que no) y el sistema numérico no se define según la lógica aristotélica, sino a través de un sistema axiomático. No nos rechinan los números negativos porque hemos convenido que tener tres manzanas negativas en la cuenta de la frutería equivale a deberle tres manzanas al tendero, pero a poco que se piense, el concepto es esquivo. Trabajar con algo que no tiene existencia posible en el mundo real para hacer operaciones entre bambalinas que al cabo de unos pasos nos devuelven a lo medible resulta incómodo para la razón, y esto no solo para los escolásticos. 

Los números racionales son los siguientes en la lógica del sistema axiomático. Vienen de dividir un número entero por otro. La posibilidad de dividir por cero introduce la necesidad de inventarse un concepto muy loco llamado «infinito», pero eso lo dejaremos para otra ocasión. Ahora lo importante es darse cuenta de que hay cantidades muy simples que no pueden ser medidas solo con los números racionales. Así, por ejemplo, la diagonal de un cuadrado cuyo lado mida una unidad. Su medida es la raíz cuadrada de dos, pero ese valor no puede ser calculado dividiendo dos números enteros. Se dice pues que es un número irracional. Que nadie se moleste en enviarme al correo de la facultad una demostración de que raíz de dos es racional, porque varios siglos antes de Cristo ya se vio que no. 

Esta disquisición sobre los racionales es necesaria para ir refinando la idea de límite. Lo inmediato es decir que un número x es el límite de una sucesión de números si la distancia entre el último número de esa sucesión es muy pequeña. Es fácil adivinar que el límite de esta sucesión de números:

0,99 0,999, 0,9999, 0,99999, …

es uno. Pero no es tan sencillo sacar así a ojo el límite, no de una sucesión, sino de una bonita suma de números racionales cada vez más pequeños:

1+ 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 +…

Salvo que el lector se dedique a esto a lo que me dedico yo, dudo que se acuerde de cuánto sumaba eso. Y se trata de un ejemplo sencillo. No es fácil estimar la suma de una sucesión de números irracionales teniendo en cuenta que cada término tiene infinitos decimales. 

Antes de entrar en el asunto del límite, abro una línea lateral: Los números irracionales no son el resultado de dividir otros dos, pero al menos sí que pueden ser la solución de una ecuación algebraica, un polinomio de coeficientes enteros. Pero hay otros números que ni eso. Son los números trascendentes, como, por ejemplo, el número π, o el número e, que es la solución de la suma anterior. Lo dicho: que nadie me envíe tampoco su genial demostración de que π es racional porque en 1761 Lambert ya demostró que no.

La definición de límite de Cauchy tiene miga, y es de esas cosas que hacen que algunos estudiantes de carreras de ciencias e ingeniería sientan una sana superioridad intelectual, porque si entiendes y manejas este tipo de conceptos intrincados con soltura puede que tengas muchos defectos personales que te conviertan en una persona poco popular, pero tonto no eres, y eso es algo que les gusta a muchos empleadores (aunque no a todos). 

La definición, sin símbolos matemáticos, dice que una sucesión tiene límite cuando sus términos se acercan tanto a ese valor que, a partir de cierto punto, la diferencia entre cada término y ese valor se hace tan pequeña como queramos. En otras palabras, dada cualquier distancia, por diminuta que sea, respecto al límite, podemos encontrar un término en la sucesión a partir del cual todos los términos siguientes están a una distancia menor que una tan pequeña como queramos.

Por ejemplo, si decimos que el límite de una función en un punto es «a», eso significa no solo que al acercarnos cada vez más al punto los valores de la función se acercan tanto como queramos a «a», sin importar lo cerca que estemos (eso es casi trivial y así no llegaríamos muy lejos), sino que si elegimos un margen de error todo lo pequeño que queramos, siempre podremos encontrar un término a partir del cual el siguiente estará dentro de ese margen de error. La diferencia es sutil, pero clave. 

Es ahí donde está la miga del asunto y lo que lleva al disfrute estético que, ya digo, es comparable al de observar un buen cuadro de Sam Francis. Esto hoy se aprende en cuarto de ESO (segundo de BUP para los de la generación X), pero el lector seguro que lo ha olvidado. Luego se repite en el primer curso de toda carrera de ciencia e ingeniería que se precie, pero el lector que haya pasado por eso seguro que tampoco se acuerda, aunque lo más probable es que ni siquiera se lo explicaran así, sino como una de esas cosas que vienen dadas y con la que hay que saber hacer operaciones, esa política que hizo que decenas de miles de licenciados odiasen la formación que recibieron. Seguramente le torturaron con las técnicas disponibles para saber si una suma infinita converge y a qué valor (eso hoy lo hace una IA en cero coma segundos), en vez de explicarle la grandeza de la definición de Cauchy (que es una epifanía que solo los humanos podemos aprovechar). 

La clave, la sutileza del concepto de límite, lo que se les había pasado a todos los que lo intentaron antes de Cauchy, está en fijarse en qué pasa cuando nos aproximamos a otro punto, no necesariamente en lo que ocurre cerca del último. Por ese otro camino no llegamos a nada. Por el de Cauchy, sí. Gracias a esa chispa que tuvo, la iluminación de que según nos vamos acercando las diferencias entre sumandos se van haciendo más pequeñas, se abre todo un universo de maravillas. A partir de su definición sólida de límite podemos calcular con precisión cosas como derivadas e integrales sin temor a equivocarnos o a tomar callejones sin salida que nos lleven a paradojas como las que torturaron durante siglos a los filósofos antiguos. 

La paradoja de Zenón se dispersa como la niebla al mediodía de un día de verano cuando nos damos cuenta de que una sucesión infinita de distancias o tiempos decrecientes puede tener una suma finita si la distancia entre los términos se reduce lo suficientemente rápido. El movimiento (en el sentido de traslación, no de cambio, o de movimiento virtual; en griego κίνησις puede significar las tres cosas) no es una ilusión, como razonaban los griegos: las divisiones infinitas del espacio y el tiempo no impiden que se complete el alcance de Aquiles a la tortuga, porque el total acumulado no crece sin fin al ser cada término menor que el anterior. De aquí surge la idea de convergencia, y aparecen varios criterios, como el de Cauchy, para saber si una suma lo es. 

Usando la terminología actual, la distancia que recorre Aquiles se calcula así:  si v es la ventaja inicial que lleva la tortuga, y Aquiles corre n veces más rápido que la tortuga, la distancia que recorre Aquiles para alcanzarla es el resultado de esta suma de infinitos términos:

v+v/n​+v/n2 ​+v/n3 ​+⋯

Esta serie tiene límite, que es v·n/(n-1), un valor finito. Así que Aquiles puede alcanzar a la tortuga. Si le da 10 metros de ventaja y va el doble de rápido, la alcanzará en tan solo 20 metros. Nótese que los cálculos anteriores ya no son tan fáciles de hacer sin herramientas matemáticas, solo razonando cualitativamente. Platón hubiera tenido serios problemas para calcular qué ventaja le debía dar Aquiles a la tortuga si corría siete veces más rápido que ella y la distancia a cubrir fuera de 185 metros (lo que medía un estadio, una antigua medida griega). Dudo que Platón hubiera tenido alguna vez la inclinación de calcular algo parecido, pero si lo hubiera intentado es posible que hubiera fracasado estrepitosamente. Lo digo a menudo, pero es bueno insistir: cualquiera que haya completado un bachillerato de ciencias sabe más sobre el mundo que todos los filósofos clásicos juntos. La educación moderna, además de desasnar al personal y socializarlo, tiene esa ventaja. 

Aclarar que la definición formal de límite que se usa hoy en las universidades es la de otro matemático, el gran Weierstrass. Pasa a menudo: las leyes de Maxwell, archiconocidas en física, se expresan hoy no como las pensó el escocés, sino en la notación de un inglés, Heaviside. En relación a esto hay una ley humorística, la de Stigler, que dice que ningún descubrimiento científico recibe el nombre de su descubridor original. De hecho la ley de Stigler es de otro, Merton.

Entender esto del límite y saber aplicarlo es una de muchas destrezas y habilidades que se adquieren (se supone) en las carreras de ciencias. Apreciar su valor estético es más de humanidades, sí, pero es cierto que para poder hacer eso hay que entender antes el concepto matemático. Solo así se aprecia la contribución de Cauchy en toda su grandeza. No es suficiente con leerse tratados de estética como el de Dewey. El prestigio de la física se cimenta en que la materia es, realmente, muy complicada, por lo que se supone que si un físico no es capaz de resolver un problema complejo del mundo real, va a ser difícil que otro lo haga. Esta hipótesis entre benévola y sobrada se sostiene incólume solo si no conoces a muchos físicos, pero sí que es cierto que es difícil que alguien recabe la opinión de un geógrafo o un historiador para buscar una nueva manera de conectar los fletes del puerto de Shanghái con los de Rotterdam. 

A la inversa, no obstante, también pasa, porque no hay nada más entrañable que proponer un problema social a un físico y ver cómo acaba concluyendo que, asumiendo que todo el mundo se comporta de la misma manera, y de forma racional, el problema se puede resolver sin dificultad aplicando unas pocas ecuaciones para un planeta perfectamente esférico. La idea de que la física asume unas idealizaciones que casi nunca se pueden predicar de la sociedad humana no es obstáculo para que, en cada generación, haya un puñado de estudiantes de ciencias que crea que los investigadores sociales son idiotas, pero esa fantasía se compensa por el otro lado, ya que en cada facultad de políticas hay siempre un puñado de gente que piensa que su utopía política preferida salió mal porque no la aplicaron ellos, o que los que estudian ciencias carecen de sensibilidad estética y de la capacidad de hilar fino.