Estás en un concurso de televisión. Eres el más listo de la clase y has superado a todos tus contrincantes. Entre fanfarrias y deslumbrantes juegos de luces te muestran el dilema final; lo que te separa de la gloria catódica y el dolce far niente. Son tres puertas. El presentador te informa de que detrás de una ellas hay un maletín con un millón de euros, y que detrás de las otras dos hay cabras. Salvo que seas muy amante de lo rural, te seduce la idea de ganar un milloncejo, así que eliges una puerta al azar. Una cualquiera. En ese momento las probabilidades de elegir la puerta correcta son de una entre tres. Pero esto es televisión, hace falta tensión y drama. El presentador abre una de las otras dos puertas y te enseña una cabra que está aún más nerviosa y deslumbrada que tú. Y llega la pregunta clave: «¿Quiere usted cambiar de puerta?». El concursante no tiene mucho tiempo para pensar pero tú, lector, puedes parar de leer ahora mismo y meditar sobre tus opciones…
Aun así, aunque te pares a pensar, es probable que llegues a la misma conclusión que el 99 por ciento de la gente. Da igual cambiar de puerta o no; es puro azar y yo ya he elegido. Antes tenía una posibilidad entre tres, ahora una entre dos; mis opciones han mejorado algo, pero no demasiado y, en el fondo, todo sigue estando en manos de la casualidad. Ya le he dado un arreón a la rueda de la fortuna. Dejaré que ruede.
Si tu decisión ha sido no cambiar de puerta «porque casi que daba igual», siento decirte que has cometido un error. Todos lo cometemos. A menudo todos damos por hecho lo que no es así, bien guiados por intuiciones defectuosas, por no pensar lo suficiente, o por creencias erróneas. El dilema del concurso es un sencillo problema matemático que viene a ilustrar lo que Thomas Gilovich, profesor de Psicología de la Universidad de Cornell, llamaba en su libro How We Know What Isn’t So (Cómo sabemos lo que no es así) «la falibilidad del razonamiento humano en el día a día». Si no damos nada por hecho y analizamos con frialdad la situación entenderemos, sin necesidad de sacar la calculadora científica, que con bastante probabilidad al otro lado de la puerta que habíamos elegido esperaba una cabra. Al enseñarnos la cabra tras la otra de las puertas, y no hay que olvidar que el presentador sabe perfectamente dónde están las cabras y dónde el premio, casi se nos conmina a cambiar. Sabemos dónde está una de las cabras, sabemos que detrás de nuestra puerta es muy probable que haya otra, sabemos que la puerta cerrada ha «absorbido» la probabilidad de la que hay abierta. Nuestras opciones si no cambiamos son de una entre tres, pero si cambiamos son de dos entre tres. Dos tercios. El doble. Debemos cambiar. Pero hay que pararse a pensar antes, claro. La situación se revela mucho más cristalina si multiplicamos el número de puertas y de cabras. Si tuviéramos delante cien puertas —noventa y nueve cabras y un millón de euros—, nos abrieran noventa y ocho (con sus respectivas noventa y ocho cabras saludando al tendido) y nos invitaran a replantearnos la elección original, solo un arrebato de estupidez supina nos mantendría pegados a esa primera elección. Pensemos más y, sobre todo, mejor. Con cien puertas cerradas, es casi seguro que hemos elegido una cabra. Noventa y nueve posibilidades entre cien de irnos a casa con ganado caprino. Cuando alguien abre noventa y ocho de las otras puertas, alguien que sabe dónde está el maletín del millón de euros, es evidente, obvio, salvo que dominemos la percepción extrasensorial o la visión de rayos X y nuestra primera elección hubiera sido la correcta, que es en la otra puerta que queda cerrada y no en la nuestra donde encontraremos un maletín lleno de dinero. Pero todo a su tiempo, más adelante también hablaremos en estos artículos de percepción extrasensorial.
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1 millón € vs 9 cabras se convierten en 1 coche vs 99 cabras.
Pues el premio y la probabilidad original es ‘sensiblemente’ mejor que la segunda, siendo el premio una buena mierda con una probabilidad de acierto ‘sensiblemente’ más díficil al avanzar la narrativa.
Nos han tomado por imbéciles o qué?
Lo siguiente que propondrá es 1 mondadientes vs. 999.999 cabras? Terminará teniendo ‘valor’ cualquiera opción tras cualquiera puerta.
La «mutación» del millón de euros en coche es, en efecto, un gazapo. Gracias por estar al quite.
la prueba original es con 3 puertas , de esa manera funciona
Si no me equivoco, la frase que escribía Carl Sagan es de David Hume.
Funciona con diferentes proporciones de 1/n. Y el objeto de valor atribuido puede ser un coche (o un mondadientes, en efecto) dependiendo de la situación. Se habla de quien ofrecía un reino a cambio de un caballo.
Esa cita se le atribuye a Sagan en Cosmos, él no se la acreditó a Hume.
https://es.wikiquote.org/wiki/Carl_Sagan
Cómo que deberíamos cambiar de puerta aunque no nos mostraran la cabra? Usted no ha entendido el problema. Que nos enseñen la cabra es esencial. Además, cuantas menos puertas hay, más conviene cambiar de puerta. A medida que aumenta el número de puertas, da casi igual cambiar o no. Demostración con 10 puertas:
– Probabilidad de haber elegido el millón de euros a la primera: 1 / 10.
– Probabilidad de que el millón esté en cualquiera de las otras puertas: 9 / 10.
– Probabilidad de que escojamos el millón una vez el presentador nos ha mostrado una de las cabras: 1 / 8 * 9 / 10 = 9 / 80
9 / 80 es ligeramente superior a 1 / 10 (ó 8 / 80), conque conviene cambiar de puerta, pero por poco margen.
Con tres puertas, la probabilidad de escoger el millón si cambiamos de puerta es de 2 / 3 frente a 1 / 3 si no cambiamos, lo cual es mucho más ventajoso.
Esa es la explicación «compleja», que desde luego nadie que no tenga tus conocimientos va a plantearse. En el artículo se dice «sin recurrir a complejos calculo matemáticos». Y la idea, entiendo, es que no nos paramos a pensar en que, tengamos delante tres, diez, o mil puertas, lo más probable es que elijamos una cabra. Entonces, cambiar parece una buena idea, lo más lógico. Pero como normalmente no nos paramos a pensar creemos que da igual. Al menos es lo que yo he entendido. No tendría ningún sentido abrir el artículo con ese ejemplo si no hubiera una solución que no implicara sacar la calculadora científica, ¿no crees? Sería como decir que los humanos somos poco dados a pensar porque no somos capaces de resolver integrales en cualquier momento y situación.
Creo que has perdido de vista el verdadero sentido del artículo, que por otra parte es bastante riguroso, y parece estar bien documentado.
El artículo en sí es muy bueno, pero esta parte en concreto está muy mal explicada, se nota muchísimo que el autor no lo ha entendido en absoluto, comete varios errores muy graves tanto en la presentación del problema como en su interpretación:
Vayamos por orden:
-“El presentador abre una de las puertas y te enseña una cabra que está aún más nerviosa y deslumbrada que tú.”
Aquí se olvida de mencionar la parte CLAVE del problema, y es que el presentador SÍ SABE dónde está el premio y dónde están las cabras. Es decir, no es que haya abierto una puerta cualquiera y haya coincidido que detrás había unha cabra, sino que ha abierto INTENCIONADAMENTE una puerta en DONDE SABÍA QUE NO ESTABA EL PREMIO.
Esto es fundamental en el problema, y el autor se olvida de mencionarlo. Al no mencionarlo, estariamos ante un problema distinto, en el cual la solución sería que da igual quedarte con tu puerta o cambiarla por otra.
-”Al darnos la opción de cambiar de puerta, el presentador casi nos conmina a hacerlo. Sabemos dónde está una de las cabras, sabemos que detrás de nuestra puerta es muy probable que haya otra. Debemos cambiar.”
Es cierto que debemos cambiar de puerta, pero no porque la probabilidad de que nuestra puerta esconda una cabra sea muy alta, sino porque la probabilidad de que nuestra puerta esconda una cabra es más alta que la de cada una de las otras puertas que puedo escoger, PERO ESTO NO ES TAN OBVIO como la explicación que nos da el autor, que parece que nos viene a decir que sólo por el hecho de que nuestra probabilidad de cabra sea alta, ya debemos cambiar de puerta, sin pararnos a pensar en la probabilidad de cabra de cada una de las otras puertas.
-”Deberíamos hacerlo incluso aunque no nos mostraran a la cabra deslumbrada.”
COMPLETAMENTE ERRÓNEO
Si no nos muestran ninguna puerta, no nos sirve de nada cambiar nuestra elección. Por muy alta que sea la probabilidad de cabra de nuestra puerta, la probabilidad de cada una las otras puertas es exactamente igual de alta.
-”La situación se revela mucho más cristalina si multiplicamos el número de puertas y de cabras. Si tuviéramos delante cien puertas —noventa y nueve cabras y un millón de euros—, y nos invitaran a replantearnos la elección original, solo la percepción extrasensorial podría hacernos insistir en no cambiar.”
Otra vez lo interpreta mal, de hecho esta vez lo interpreta al revés:
La situación no es más cristalina cuantas más puertas, sino cuantas menos.
Con cien puertas el beneficio de cambiar tu elección sigue existiendo, pero es mínimo.
De hecho este mismo problema se suele plantear con tres puertas (o cajas según la versión), y ahí sí que es evidente el beneficio de cambiar la elección, de hecho al hacerlo doblas tus probabilidades de conseguir el premio, como menciona Rodrigo.
Veamos el mismo problema con tres puertas y un poco simplificado, para entenderlo mejor:
Tenemos tres puertas, sabemos que una esconde un millón de euros y las otras dos nada.
Escogemos una puerta. El presentador, que sabe donde está el premio, abre una de las otras dos puertas teniendo cuidado de escoger una que no tenga premio (al menos una de las dos puertas sobrantes no tiene premio)
Ahora nos da la posiblidad de quedarnos con nuestra puerta inicial o cambiarla por la otra que no ha abierto. Qué deberíamos hacer?
Mucha gente tiende a crear que no sirve de nada cambiar la elección, ya que la probabilidad de cada puerta será de 1/2
Pero esto no es así, veámoslo:
Antes de que el presentador abra la puerta restante sin premio tenemos la siguiente situación:
Probabilidad de que el premio esté en tu puerta = 1/3
Probabilidad de que el premio esté en la puerta restante 1 = 1/3
Probabilidad de que el premio esté en la puerta restante 2 = 1/3
Pero cuando el presentador abre la puerta restante que no tiene premio te está dando una nueva información con respecto a las dos puertas restantes. En ningún caso te da información acerca de tu puerta, tu puerta tenía 1/3 y lo sigue teniendo, ya que el hecho de que el presentador abre una puerta que sabe que no tiene premio no cambia nada con respecto a tu puerta (él siempre tiene la posibilidad de escoger una que no tenga premio, independientemente de lo que hayas escogido tú). Pero los 2/3 restantes que se repartían entre dos puertas ahora le corresponden a una sola, así que la situación sería:
Probabilidad de que el premio esté en tu puerta = 1/3
Probabilidad de que el premio esté la puerta que no ha abierto = 2/3
Probabilidad de que el premio esté la puerta que ha abierto = 0
Por decirlo metafóricamente, la puerta restante que no abre el presentador se queda con las papeletas de la que sí ha abierto.
Conclusión: Hay que cambiar de puerta.
Lo siento por el tocho. Pero no me pude contener.
Por lo demás, el artículo me gusta mucho.
Buenas noches, Encías.
Vaya, tu explicación merece un artículo aparte. Y te la agradezco. No soy matemático, y ese ejemplo está tomado del libro que inspiró el artículo, How we know what isn’t so. Es muy posible que en la traducción perdiera de vista esos detalles que comentas. Por ello, pido disculpas. He pensado en editar ese pasaje, o directamente cambiarlo por otro ejemplo que me dé menos quebraderos de cabeza, pero creo que dejarlo así, ya que quien quiera puede acceder a todo lo que tú has escrito, no es tan mala idea. A veces uno la caga y no pasa nada si la cagada la rectifica otro, en este caso tú. Me apena que el error pueda eclipsar el fondo del artículo, porque en realidad fuera una u otra la explicación seguiría sirviendo para ilustrar lo que luego se desarrolla aquí y en la segunda parte… Paradójicamente, y de propina, esa mala interpretación incluso viene a reforzar la idea de que necesitamos pensar más y mejor. Incluso, o sobre todo, cuando escribimos un artículo sobre los peligros de no atender lo suficiente o dejarnos llevar por la intuición.
Un abrazo, y gracias de nuevo.
E.
Buenos días:
No soy matemático. Pero tengo serias dudas con la explicación final. Intentaré hacerme entender:
Inicialmente tenemos 3 puertas: A, B y C. Una tiene un millón y las otras 2 tienen cabras. Cada una de llas tiene una probabilidad de 1/3 de tener un millón y una probabilidad de 2/3 de tener una cabra. El concursante, por ejemplo, escoge la puerta A.
El presentador decide abrir la puerta C, que contiene una cabra. En ese momento la probabilidad de la puerta C de tener un millón pasa a ser de cero. Y la probabilidad de las puertas A y B de tener el millón es de 1/2 (la misma que de tener una cabra).
Como consecuencia, la elección de puerta, ciertamente, le ofrece al concursante una probabilidad mayor en esta segunda oportunidad que en la primera, ya que su probabilidad de acierto aumenta del 1/3 a 1/2. Pero eso se cumple tanto si elige cambiar a la puerta B, como si elige no cambiar su elección inicial.
Por lo tanto, da igual que el concursante cambie de puerta o no, ya que su probabilidad de acertar es exactamente la misma.
¿No sería asi? Un saludo EMP
Yo tampoco soy matemático y debe ser por eso que estoy totalmente de acuerdo con usted, Eduardo M. Lo demás sí que me parece creer en la magia.
«El filete era mío»:
Me hace gracia que hables de magia, cuando no hay nada más alejado de la magía que las matemáticas. Las matemáticas son lo único que no requiere fe, no hay que creer en los resultados por que sí, las cosas no son así porque lo ha dicho alguien muy sabio o porque se han comprobado muchas veces, sino que son así PORQUE NO PUEDEN SER DE OTRA MANERA.
Ante un teorema o un resultado como el de este problema, la gente no tiene por qué creerte a ciegas, basta con que vea tu demostración y compruebe que efectivamente es así. Obviamente, hace falta un poco de interés y ganas por entenderla, si no, es imposible.
Pero de todas maneras, ya que no me crees, te invito a que te juntes con un amigo que haga de presentador, y juegues 100 veces al juego siguiendo la estrategia de no cambiar la puerta, y luego juegues otras 100 veces siguiendo la estrategia de cambiar de puerta, y luego nos cuentes el resultado.
Un saludo.
El problema sería como tú dices si el presentador no supiera donde está el premio, entonces abriese una puerta al azar, y coincidiese que hubiera una cabra.
Pero la situación no es esa, la situación es que el presentador sabe donde está el premio, y escoge a propósito otra puerta, con lo cual su acción no influye para nada en la probabilidad de que el premio esté en tu puerta, esa probabilidad era de 1/3 y sigue siéndolo.
OTRA FORMA DE VERLO:
Creo que todos estamos de acuerdo en que al principio, la probabilidad de que tu puerta tenga el premio es de 1/3, y la de que no lo tenga es de 2/3.
Pues bien, si despues de que el presentador abra la puerta con la cabra, tú no cambias tu puerta, sólo vas a ganar en el caso de que hubieras escogido bien al principio (recordemos que esa probabilidad era de 1/3), y vas a perder en cualquier otro caso (2/3)
Sin embargo, si cambias tu puerta por la otra que queda, vas a ganar el premio en el caso de que tu puerta inicial no tuviera premio. SIEMPRE que tu puerta inicial no tuviera premio. Es decir, 2 de cada 3 veces. Y vas a perder solamente cuando tu puerta inicial tuviese el premio (1 de cada 3 veces)
Otra forma de verlo:
Llamemos «Puerta 1» a la que tú escoges, «Puerta 2» a la siguiente por la derecha y «Puerta 3» a la otra
Probabilidad de que el premio esté en Puerta 1 = 1/3
Probabilidad de que el premio esté en Puerta 2 = 1/3
Probabilidad de que el premio esté en Puerta 3 = 1/3
Supongamos que el premio está en la Puerta 1:
El presentador descarta una cualquiera de las otras dos puertas, que no tienen premio.
-Manteniendo tu elección GANAS
-Cambiando tu elección PIERDES
Supongamos que el premio está en la Puerta 2:
El presentador se ve obligado a abrir la Puerta 3
-Manteniendo tu elección PIERDES
-Cambiando tu elección GANAS
Supongamos que el premio está en la Puerta 3:
El presentador se ve obligado a abrir la Puerta 2
-Manteniendo tu elección PIERDES
-Cambiando tu elección GANAS
Por lo tanto:
-Estrategia «Mantener tu Elección»:
1/3 de las veces GANAS
1/3 de las veces PIERDES
1/3 de las veces PIERDES
Probabilidad de ganar: 1/3
-Estrategia «Cambiar tu Elección»:
1/3 de las veces PIERDES
1/3 de las veces GANAS
1/3 de las veces GANAS
Probabilidad de ganar: 2/3
Imagínate que hubiese 100 puertas.
Tú escoges una.
De las 99 restantes, el presentador, que sabe donde está el premio, abre 98 y ninguna tiene el premio.
Sólo quedan tu puerta inicial y otra puerta.
Te ofrece la posibilidad de cambiar tu elección inicial.
La cambiarías o no??
En serio no cambiarías??????
Si no la cambias, sólo tienes un 1% de ganar el premio. (sólo ganarás el premio cuando hayas elegido la puerta buena al principio)
SI la cambias, tienes un 99% de ganar el premio. (ganarás el premio siempre que no hayas escogido la puerta buena al principio)
Espero que este ejemplo extremo te ayude a comprenderlo.
Hombre, ahora lo he pillado. Me ha costado, ¿eh?. Gracias, EnciasJoe, por la insistencia. Un saludo.
Pues un artículo interesante. Me sobra la alusión a la caja B. Qué ganas de estropear un buen artículo con alusiones a cosas de las que ya estamos hartos (de que hubiera caja B, y de que lo tengamos que meter con calzador donde no toca). Lo dicho, interesante artículo. Espero la segunda entrega.
Toy de acuerdo
¡Hola! Yo la recuerdo de la universidad, porque me pareció genial. Pero, recurriendo a sus mismas fuentes:
https://es.wikiquote.org/wiki/David_Hume
El tema éste de las cabras se estudia en teoría de juegos y se conoce como «Problema de Monty Hall» en honor al presentador de un concurso de televisión que lo inspiró. La solución la encontró Marilyn Vos Savant, una de las personas con un QI más alto nunca registrado y que, por su nombre, ha generado la leyenda urbana de que Marilyn Monroe era un puto genio.
No sé quien es esa persona, pero me cuesta creer que sea famosa por encontrar la solución a este problema, ya que la solución la encuentra cualquier persona con unos mínimos conocimientos de cálculo de probabilidades.
Yo mismo la he encontrado, y no soy famoso por ello.
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