La fascinación que muchos niños y algunos adultos sentimos ante una hoja de papel cuadriculado tiene que ver con la naturaleza misma de la realidad. Organismos compuestos por células, paredes hechas de ladrillos, suelos pavimentados con baldosas… y, en última instancia, una materia compuesta por átomos y una información reductible a ceros y unos. Toda la complejidad del mundo físico y mental procede de la acumulación organizada de diminutos elementos simples, igual que un bloc de notas es una ordenada acumulación de celdillas cuadradas que sirven de plantilla a textos, cálculos, bocetos y otras expresiones gráficas del pensamiento abstracto.
Como representación esquemática de nuestro mundo celular, el papel cuadriculado nos invita a convertirlo en soporte de estructuras y escenario de procesos que, partiendo de la mayor simplicidad, pueden alcanzar grados de complejidad inimaginables, del mismo modo que la evolución, recombinando sin fin los elementos más simples, ha generado un deslumbrante catálogo de formas de vida.
Algunas de las mentes más brillantes de nuestro tiempo, como Alan Turing, John von Neumann o John Conway, construyeron poderosas herramientas lógico-matemáticas a partir de una cuadrícula ideal, que seguramente empezaron plasmando en una hoja de papel cuadriculado. Cuando la cuadrícula no es un corsé, sino una plantilla que ayuda a escribir o dibujar —a pensar— «despacio y con buena letra», como aconseja Machado, los productos de la «mente cuadriculada» pueden ser magníficos.
La cuadrícula acotada
El papel cuadriculado, la cuadrícula inmensa (en una hoja estándar hay unas 4000 celdillas), no hace mucho que se convirtió en un soporte gráfico de uso común (los primeros cuadernos escolares se fabricaron en los años veinte del pasado siglo); pero las cuadrículas acotadas son tan antiguas como la escritura, o tal vez más.
La cuadrícula elemental de 3×3 es la base del cuadrado mágico, conocido en China desde el III milenio a. C., en el que los números del 1 al 9 están dispuestos de forma que todas las filas, columnas y diagonales sumen lo mismo (o sea, 15, ya que los nueve primeros números suman 45).
Aparentemente hay ocho posibilidades, pero en realidad solo existe un cuadrado mágico de orden 3, si consideramos iguales los obtenibles por rotación o reflexión. Pero en una cuadrícula de 4×4 podemos disponer los números del 1 al 16, formando un cuadrado mágico, de 880 maneras distintas. Y el número de posibilidades crece vertiginosamente al aumentar el orden: hay 275 305 224 cuadrados mágicos de orden 5, y unos 18 trillones de orden 6.
De todos ellos, el más famoso es el cuadrado mágico de orden 4 que aparece en el ángulo superior derecho de la Melancolía de Durero, construido de manera que los dos números centrales de la fila inferior compongan el año de realización del grabado: 1514.
Mucho se ha especulado sobre el significado de la Melancolía, cuyo denso simbolismo Durero nunca explicó. La mayoría de los expertos coinciden en ver en el grabado una alegoría del deprimido estado de ánimo típico del pensador incapaz de pasar a la acción. Y, de hecho, en el Renacimiento se pensaba que la melancolía era la dolencia propia de los estudiosos, a los que «una pálida máscara de reflexión hace parecer enfermos», según un testimonio de la época. Pero ¿por qué un cuadrado mágico en una alegoría de la inteligencia deprimida? Seguramente, como han señalado Panofsky y otros, porque se consideraba un talismán jovial contra la sombría influencia de Saturno, el dios de la tristeza. Efectivamente, se puede identificar el cuadrado mágico de orden 4 con la Mensula Jovis dividida en 16 casillas que, grabada en una lámina de estaño, «disipa toda angustia y temor», según Marsilio Ficino, y que fue un talismán de uso frecuente durante el Renacimiento.
Pero, sin negar lo anterior, cabría aventurar otra interpretación que, aunque probablemente tenga poco que ver con su intención consciente, tal vez arroje alguna luz sobre el núcleo de las inquietudes de Durero, que en más de una ocasión manifestó su angustia ante las limitaciones del pensamiento racional. Los cuadrados mágicos, acaso mejor que ningún otro objeto aritmético, simbolizan a la vez los aspectos lúdicos y abismales de las matemáticas: tras su inocente faceta recreativa (componer un cuadrado mágico es el equivalente numérico de resolver un crucigrama), acechan sus sobrecogedoras profundidades, que apenas hemos comenzado a explorar. Juego trivial, al alcance de un niño, y a la vez ventana asomada al vértigo de una combinatoria inabarcable.
Sin embargo, la cuadrícula acotada más famosa es seguramente la de 8×8: el campo de batalla del ajedrez, las damas y otros juegos de tablero. Podría parecer que, al tener casillas de dos colores, el popular damero no es una cuadrícula «pura»; pero, en realidad, los colores alternantes de las casillas solo sirven para facilitar la visualización de las posiciones, del mismo modo que la alternancia de líneas blancas y azules (o de otros colores en las versiones actuales) en el papel pijama no tiene más objeto que el de facilitar la lectura.
Además de su función como tablero, la cuadrícula de 8×8 ha dado lugar a numerosos problemas matemáticos, relacionados o no con el juego del ajedrez. Uno de los más interesantes es el de las poligrafías, que son los itinerarios de una pieza que recorre todo el tablero visitando una y solo una vez cada casilla. Las poligrafías del caballo, las más complejas, despertaron el interés de matemáticos tan ilustres como Leonhard Euler, que, entre otras cosas, halló un recorrido en el que el caballo, si numeramos las casillas en el orden en que las visita, genera un cuadrado mágico de orden 8.
La cuadrícula infinita
Las poligrafías del rey son mucho más simples que las del caballo, pero inspiraron la creación de uno de los más fascinantes autómatas celulares: la hormiga de Langton. Como es bien sabido, el rey se puede mover en todas direcciones, pero solo una casilla a la vez. Si eliminamos los movimientos en diagonal y hacemos que el rey, al visitar una casilla, cambie el color de la misma y altere la dirección de su marcha, y si eliminamos los bordes del tablero para convertirlo en una cuadrícula ilimitada, tenemos una hormiga de Langton (ideada por Cristopher Langton en 1986), cuyas evoluciones generan sorprendentes patrones recurrentes y «avenidas» infinitas.
El más conocido y estudiado de los autómatas celulares es el juego de la vida, inventado en 1970 por el gran matemático británico John Horton Conway. Al igual que la hormiga de Langton, el juego de la vida se desarrolla sobre una cuadrícula ilimitada en la que algunas de las casillas/células están «vivas» y otras «muertas» (las primeras marcadas en negro y las segundas en blanco, habitualmente). A partir de una determinada situación inicial, las células evolucionan automáticamente (de ahí el nombre de «autómata celular») de acuerdo con un par de reglas sencillas:
-
Una célula muerta con exactamente 3 vecinas vivas revive.
-
Una célula viva con 2 o 3 vecinas vivas sigue viva; de lo contrario, muere (por «soledad» si tiene menos de 2 vecinas vivas o por «superpoblación» si tiene más de 3).
Hay patrones, denominados «osciladores», que tras un determinado número de pasos («generaciones») vuelven a su estado inicial; otros que permanecen invariables («vidas estáticas»); otros que reaparecen en distinto lugar («naves espaciales»), como si se desplazaran por la cuadrícula…
El juego de la vida y la hormiga de Langton son, además, máquinas universales de Turing, es decir, todo lo que se puede computar algorítmicamente se puede computar en estos autómatas celulares (pero ese es otro artículo).
La cuadrícula invisible
El papel cuadriculado y los cuadernos en general han sido desplazados, en buena medida, por las pantallas de ordenador; pero la cuadrícula ideal sigue viva —más viva que nunca— en ellas, puesto que todo aquello que aparece en una pantalla es, en última instancia, una tupida retícula invisible saturada de píxeles elementales que, combinados de distintas maneras, dan lugar a la inmensa variedad de textos e imágenes posibles (pero ese también es otro artículo).
«El horror, el horror» El corazón de las tinieblas, Joseph Conrad
«El horror, el horror» El corazón de las tinieblas, Joseph Conrad
Mi única experiencia con las hojas de papel cuadriculado son las batallas navales de la infancia, sobre todo en la escuela, mientras el maestro medio sordo explicaba cosas que ya sabíamos.
Seguro que tu experiencia es más amplia, aunque puede que inconsciente, en parte. Hasta hace poco, las cuadrículas estaban por todas partes.
Siempre andando por las “cuadrículas” orillas de las reflexiones, Carlo. Muy bueno, especialmente al hacerme recordar esas células/celdas vivas o muertas. Tal vez el orígen de la vida en nuestro planeta se presentó de una manera similar, con antiquísimos organismos cuya única y simple misión era alimentarse (obtener información “digerible” al fin y al cabo) para luego dividirse en dos o más, muriendo por supuesto, o por vejez o por ser alimento de otras. Hace tiempo, y con Excel, pensé que uniendo la altura de tres, cinco, siete, etc. etc (números primos), resultaría una curva “apacible”, “lógica”, sin quebraduras. Para nada. Estos primos son díscolos. Gracias.
Los díscolos primos probablemente sean la principal causa de sufrimiento -y aun de locura- entre los matemáticos. Gracias a ti, ER.
Cualquiera que lea los comentarios de más arriba, si tiene más de dos neuronas y si éstas sinaptan, se dará cuenta que un artículo de este ‘pelaje’ le quita trabajo a los psiquiatras.
No entiendo qué quieres decir. Me encantaría quitarles trabajo a los psiquiatras, pero me temo que mis modestas aportaciones no dan para tanto.
Se podría pensar que una cuadrícula como la de una hoja cuadriculada convencional es muy limitada, pero las posibilidades combinatorias de esas 4000 celdillas, incluso si únicamente se nos permite rellenar o dejar vacías las celdillas que deseemos, son enormes: un número de más de 1200 cifras (expresado en nuestro sistema decimal).
Nos podríamos preguntar si una cuadrícula ordenada finita es capaz de representar todo el mundo físico, aparentemente discreto, en el que además estaría contenida esa misma cuadrícula.
De hecho, una pantalla de ordenador se puede considerar una cuadrícula finita (aunque inmensa), y en ella podemos representar todo lo representable en dos dimensiones.
…mmmm……
Este artículo me trae un recuerdo y también una sugerencia. El recuerdo es el de la novela «Doktor Faustus» y su personaje de Adrian Leverkühn, en el que el músico exhibía un «cuadrado mágico» en una de sus paredes, no sé si como señal de peligro o prefiguración total de su destino. La sugerencia viene de esa extraña persistencia geométrica de la fórmula ortogonal en la ordenación de ciudades, que como red configura un grafo en nada distinto a la retícula del cuaderno. Pese a su simplicidad, este sistema no carece de cierto misterio, sobre todo cuando se hace patente que la mayoría las civilizaciones urbanas primigenias (Mesopotamia, el valle del Indo, Egipto, etc.) se aproximan o esa configuración o la alcanzan siglos antes de Hipodamo. Parece cierto, ademas, que no hubo una difusión del modelo (como se supuso en los estudios iniciales) sino que se llegó a la idea por esfuerzos aislados entre sí. También se ha empleado recurrentemente en la división del territorio (el caso del Veneto, por ejemplo). En resumidas cuentas, es un sistema que nos ha acompañado a lo largo de siglos, que ha configurado ciudades y ayudado a pensar en la ciudad, prestando sus potencialidades tanto a las utopias como al mercado inmobiliario (entre otros) ¿Ha servido, en el marco del urbanismo y la agrimensura, para proyectar una matriz de control sobre un mundo que nos parece hostil por impredecible? Supongo que para eso y para más cosas…
Gracias en cualquier caso por su artículo, Sr. Frabetti.
Gracias a ti por tu enjundioso comentario. Supongo que muchas culturas han llegado a la cuadrícula por lo que Le Corbusier llamó nuestro pacto de solidaridad con la naturaleza: el ángulo recto. Norte-sur-este-oeste, arriba-abajo-derecha-izquierda… Como alguien dijo, los romanos, al planificar sus ciudades, utilizaron las coordenadas cartesianas antes que Descartes. En cuanto al cuadrado mágico en la obra de Mann (tan llena de guiños y referencias), no recuerdo si tiene algún significado relevante. Tal vez Mann quisiera establecer un paralelismo entre Leverkühn y Durero, otro artista atormentado y melancólico.
¿Ángulos rectos en la naturaleza? Yo siempre había oído que la naturaleza odia las líneas rectas, pero si lo dice Le Corbusier…
Hay que leer el poema completo para entender lo que quiere decir Le Corbusier (se encuentra fácilmente en la red). La gravedad nos impone la vertical, y nos adaptamos a ella mediante superficies horizontales que nos mantienen estables (erguidos sobre nuestras piernas): ese es el ángulo recto del pacto con la naturaleza.
Gracias por la aclaración. No sabía que Corbu también escribía poemas. Vaya chico más completo. Lástima que además fuera un poco fascista.
(By the way, en Youtube es posible ver unos documentales bastante antiguos del crítico de arte Robert Hugues titulados «El impacto de lo nuevo». En un capítulo titulado «Problemas en utopía» hace una crítica devastadora del movimiento moderno en arquitectura. Le Corbusier es destruido, su Unité d´Habitation ridiculizada y la raíz fascista de sus ideas artísticas, desvelada. Niemeyer y su Brasilia sufren la más feroz y divertida crítica que haya oído nunca. Por si le interesa a alguien.) Saludos.
PD: La cuestión de la línea recta y la naturaleza es interesante. No solo Marilyn Monroe era todo curvas, todos los seres vivos somos curvos, y las montañas, los ríos, las costas etc… Tal vez diera para un geométrico artículo.
Gracias a ti, jopé. En última instancia, la naturaleza ni siquiera es euclídea, como sabemos desde la revolución relativista. Hecha esta salvedad, en la naturaleza hay más rectas de las que uno creería viendo caminar a MM. El tirón gravitatorio y la cristalografía producen unas cuantas. Tal vez dé para un artículo, sí. Y también Hugues, por cierto.
¡ Cristalografía ! 1º de BUP. Suspenso en naturales, por supuesto, a pesar de lo cual la simetría de los cristales me fascinaba. Sin duda un tema apasionante. Y si conoces a Hugues tal vez hayas leído su libro sobre Roma. La descripción de su primera visita a la ciudad como estudiante en 1959 me hace morir de envidia. Pese a la pobreza y la tristeza de la posguerra, que asombrosa explosión cultural se vivía allí. Pasear por la ciudad y tal vez cruzarse con Mastroiani, Gasman, ¡ Sofía Loren ! Francamente Carlo, no sé que se te perdió en España, jeje.
La pregunta no es qué se me perdió en España, sino qué nos echó de Italia (a mis padres y a mí con ellos). Lo que no me impidió, con el tiempo, conocer a Gassman y a Loren. A Mastroianni me lo perdí por los pelos, una lástima. Y, sí, Roma es maravillosa, aunque, como dijo alguien, sea una vieja dama que vive de exhibir su cadáver.
Tendré qule abandonar (con algo de bronca, lo admito) esa convicción de que en la Naturaleza no hay ángulos rectos, todo debido a que la cultura de una persona es parcial, temporal y, sobre todo un albur. La Naturaleza que se me presentó desde que tengo uso de razón me inducía a aquella reflexión, pues los ángulos rectos no aparecían en ningún lado. Si la Cristalografía hubiese sido más a la mano, más popular otra habría sido mi mirada. La Naturaleza tambíen abarca lo invisible a los ojos. Lo que no me cuadra es esa “construcción IDEAL de un ángulo recto” a partir de un experiencia sensorial, NATURAL: el “tirón gravitacional”. Pero esto entraría en el ámbito de las ciencias del conocimiento. Habrá que buscar lecturas sobre la Cristalografía. Gracias, Carlo.
Bueno, mal que le pese a Platón, las construcciones ideales parten de experiencias sensoriales que nos brinda mamá natura. La araña que cuelga de su hilo nos ofrece un nítido ejemplo de verticalidad, y en su primorosa tela encontramos ángulos rectos casi perfectos.
Dejando aparte que la idea de línea recta es una abstracción (no lo es «curva»), podemos encontrar rectas también en las espículas de algunos cactos. Otra cosa es que sobre el hilo de araña o la espícula o la arista de un cristal de cuarzo apliquemos un microscopio electrónico. Cuestión de escala.
Muy cierto. Pero al cambiar de escala perdemos unas rectas (relativas) y encontramos otras.
El impacto de lo nuevo según Robert Hughes
Escrito por Xavier Ferré
https://www.jotdown.es/2012/09/el-impacto-de-lo-nuevo/
Gracias, Pablo, lo leí hace tiempo, pero tal vez merezca una relectura atenta. Y ahondar en el tema.